【BZOJ1426】收集邮票【期望DP】
【题目链接】
参考【pygbingshen的题解】，推了一晚上终于推出来了。
注意题意指的是，第i次买的时候价钱为i，不是编号为i的邮票价钱为i（否则样例应该是11...）。
设g[i]表示已经收集了i张邮票，要收集到n张邮票的期望购买次数。
设pr(x, i)表示已经收集了i张邮票，购买x次能收集到n张邮票的概率。
那么根据g[i]定义，有
（pr(x, i)是可以表示出来的，但是表示出来也没有实际用处，所以为了方便，设为pr(x, i)）
但是我们计算g[i]并不能用定义式，因为是无穷的，而且过于麻烦。
其实g[i]的问题是一类经典问题，这类问题的解决方法是递推。
由结论，有
这里证明一下为什么是加n / (n - i)...
假设现在有i张邮票，那么可以通过
（1）抽一次得到i + 1张邮票，期望为1 * (n - i) / n
（2）抽两次得到i + 1张邮票，期望为2 * i / n * (n - i) / n
（3）抽三次得到i + 1张邮票，期望为3 * (i / n)^2 * (n - i) / n
（4）...
显然是一个无穷级数，相当于求
这个式子用错位相减法搞一搞，求出来就是n / (n - i)，高中数学内容就不详细说了...
那么现在可以求出g[i]了，先把这个数组放一边，一会用。
设f[i][j]表示已经收集了i张邮票，买下一张邮票需要花费j元，收集到n张的期望花费。
那么有两种情况
（1）没收集到i + 1张邮票，期望为f[i][j + 1] * i / n
（2）收集到了i + 1张邮票，期望为f[i + 1][j + 1] * (n - i) / n
花费都为j，得到
但是这还是个无穷的表达式（j会非常大），并不能直接拿去用。
利用f[i][j]的定义，再列出一个定义式。
（这个定义式有点神奇...）
根据这个整理后的定义式，列出f[i][j + 1]，并作差，可以得到
发现这玩意"恰好"就是g[i]。
我们把f[i][j + 1]代入到上面推出的递推式里，整理一下。
变成了一个方程，把f[i][j]表示出来。
然后就可以递推了？等会，注意到f[i][j]里还有个j，我们该开多大数组？然后再看看，发现除过j，没有用到其他的值（比如j+1, j+2, j-1啥的），整个式子里只有j这一维。
显然我们要求的是f[0][1]，所以我们把j都变成1就好了，这样就不用第二维了。
完啦。答案为f[0]。
/* Footprints In The Blood Soaked Snow */
#include <cstdio>
typedef double DB;
const int maxn = 10005;
int n;
DB g[maxn], f[maxn];
int main() {
scanf("%d", &n);
g[n] = 0;
for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
g[i] = g[i + 1] + n /(DB)(n - i);
f[n] = 0;
for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
f[i] = (n + g[i] * i + (f[i + 1] + g[i + 1]) * (n - i)) /(DB)(n - i);
printf("%.2lf\n", f[0]);
return 0;
}