[JLOI2015]装备购买 解题报告

我们考虑对这些向量高斯消元出的上三角矩阵中不全为0的向量。（它们其实就是线性基）
首先，对于那些还存在一个向量中此位不为0的位，我们称它为有效位。则无论我们以何种顺序何种方式消元，它所有线性基的有效位集合必然是相同的。因为我们知道，加减消元并不会改变能生成的集合。所以它线性基的生成集合必然等于原集合的生成集合。而如果两个线性基的有效位集合不同的话，就意味着存在一个向量它能被一个线性基生成而不能被另一个线性基生成。而作为推论，所有线性基的大小也是相同的。
而考虑题目中说的最大的子集使得其生成集合等于原集合，其实这就等于线性基。因为假如说有一个更大的，那么我们便可在其中求一个原集合的线性基出来。
而对于第二问，我们可以贪心。因为我们考虑按c从小到大排序，对于每一个向量，能选就选，那么假如它不选的话，必然是因为后面有一个向量把它清零了，而且后面向量的有效位在它这里并不为0，那么显然我们把后面这个向量换成它不会更劣。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
const int N=500+5,M=500+5;
int in(){
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
    int x=0;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=x*10+(c^'0');
    return x;
}
struct XS{
    double z[M];
    int c;
    bool operator < (const XS & o)const{
        return c<o.c;
    }
}z[N];
#define eps 1e-6
int main(){
    freopen("bzoj_4004.in","r",stdin);
    int n=in(),m=in();
    for(int i=n;i--;)
        for(int j=m;j--;)
            z[i].z[j]=in();
    for(int i=n;i--;)z[i].c=in();
    sort(z,z+n);
    pair<int,int> ans;

    /*for(int i=0;i<n;++i){ for(int j=m;j--;)printf("%lf ",z[i].z[j]); puts(""); }*/

    for(int i=0;i<n;++i)
        for(int j=m;j--;)
            if(fabs(z[i].z[j])>eps){
                ++ans.first,ans.second+=z[i].c;
                /*printf("Get(%d,%d)=",i,z[i].c); for(int o=m;o--;)printf("%lf ",z[i].z[o]); puts("");*/
                for(int k=n-1;k>i;--k)
                    if(fabs(z[k].z[j])>eps){
                        double tmp=z[k].z[j]/z[i].z[j];
                        for(int o=m;o--;)z[k].z[o]-=z[i].z[o]*tmp;
                    }
                /*for(int k=n-1;k>i;--k){ for(int o=m;o--;)printf("%lf ",z[k].z[o]); puts(""); }*/
                break;
            }
    printf("%d %d\n",ans.first,ans.second);
}

总结：
①判断是否为0要注意用fabs>eps
②生成集合相同的集合的线性基的有效位集合必然相同。