概率论与数理统计（随机变量及概率分布）

随机变量及概率分布

一维随机变量

随机变量的概念 略

离散型随机变量

1. 设 X 为离散型随机变量，其全部可能值为 {a1,a2⋯} 则
   

   pi=P(X=ai),i=1,2⋯
   
   称为 X 的概率函数，显然有：
   
   pi≥0,p1+p2+⋯=1

2. 设 X 为以随机变量，则函数：
   

   P(X≤x0=F(x),−∞<x<∞)
   
   称为X的分布函数

3. 二项分布
   

   pi=b(i;n,p)=(ni)pi(1−p)n−i,i=0,1,⋯
   
   记为 X∼B(n,p)

4. 泊松分布
   

   P(X=i)=e−λλi/i!
   
   记为 X∼P(λ) . 它多试出现在当 X 表示在一定时间或空间内出现的事件个数这种场合

   一般来说，若 X∼B(n,p) ，其中 n 很大， p 很小而 np=λ 不太大时，则 X 的分布接近于泊松分布

5. 超几何分布
   

   P(X=m)=(Mm)(N−Mn−m)/(Nn)
   
   其中， 0≤m≤M 及 n−m≤N−m
   当 n/N 很小，则放回与不放放回差别不大，这时候超几何分布与二项分布很像

6. 几何分布
   

7. 伯努利分布（补充）
   

连续随机变量

1. 设连续随机变量 X 有概率分布函数 F(x) ，则 F(x) 的倒数 f(x)=F′(x) ,则成为 X 的概率密度函数

   解释：根据定义 [F(x+h)−F(x)]/h 可以解释为为在 x 点附近 h 这么长区间内，单位长所占有的概率，或者说它反映了概率在 x 点处的“密集程度”。你可以设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于杆上各点的质量密度

2. 正态分布
   如果一个随机变量具有概率密度函数
   

   f(x)=(2π−−√σ)−1e−(x−μ)2/2σ2,−∞<x<∞
   
   则称 X 为正态随机变量并记为 X∼N(μ,σ2) . N∼(0,1) 为“标准正态分布”
   

3. 指数分布
   若随机变量 X 有概率密度函数
   
   x={λe−λx,0,当x>0x≤5
   
   则称 X 服从指数分布。其中 λ>0 为参数。
   f(x) 在0处是不连续的，常应用在寿命分布。即瞬时的失效率是常数 λ 。
   
4. 威布尔分布 略（与指数分布类似，但是考虑的是衰老）
   
5. 均匀分布
   
   x={1/(b−a),0,当a≤x≤b其他x
   
   记为 X∼R(a,b)

多维随机变量

离散型随机向量的分布

1. 设 X=(X1,X2,⋯,Xn) 为 n 为向量，其每个分量，即 X1,⋯,Xn ,都是一维随机变量，则称 X 是一个 n 维随机向量或 n 维随机变量
2. 多项分布
   

随机变量的数字特征

数学期望

期望

1. 设随机变量 X 只取有限个可能值 a1,⋯,am . 其概率分布为 P(X=ai)=pi,i=1,⋯,m .则 X 的数学期望，记为 E(X) 或 EX 定义为：
   

   E(X)=a1p1+a2p2+⋯,ampm

   数学期望定义为级数之和： E(X)=∑∞i=1aipi ,需要要求这个级数绝对收敛

方差与矩

方差

统计三大分布：卡布分布、t分布、正态分布

1. Var(X)=E(X−EX)2
   
   称为方差，其平方根 Var(X)−−−−−−√ 称为 X 的标准差
2. 定理
   
   1. 常数的方差为0。
   2. 若 C 为常数，则 Var(X+C)=Var(X)
   3. r若 C 为常数，则 Var(CS)=C2Var(X)
3. 独立随机变量之和的方差，等于各变量的方差之和

矩

1. 设 X 为随机变量， c 为常数， k 为正整数。 E[(X−c)k] 称为 X 关于 c 点的 k 阶矩
   
   1. c =0时，称为 X 的原点矩
   2. c=E(X) . 这时 μk=E[(X−EX)k] 称为 X 的 k 阶中心矩

协方差与相关系数

1. E(X)=m1,E(Y)=m2,Var(X)=σ21,Var(Y)=σ22 ,
   称 E[(X−m1)(Y−m2)] 为 X,Y 的协方差，并记为 Cov(X,Y) .如果 X,Y 独立，则协方差为0

2. 称 Cov(X,Y)/(σ1σ2) 为 X,Y 的相关系数，记为 Corr(X,Y) . 如果 X,Y 独立，则相关系数为0