概率论与数理统计(随机变量及概率分布)

  • 随机变量及概率分布
    • 一维随机变量
      • 随机变量的概念 略
      • 离散型随机变量
      • 连续随机变量
    • 多维随机变量
      • 离散型随机向量的分布
  • 随机变量的数字特征
    • 数学期望
      • 期望
    • 方差与矩
      • 方差
    • 协方差与相关系数

随机变量及概率分布

一维随机变量

随机变量的概念 略

离散型随机变量

  1. X 为离散型随机变量,其全部可能值为 {a1,a2}

    pi=P(X=ai),i=1,2

    称为 X 的概率函数,显然有:
    pi0,p1+p2+=1

  2. X 为以随机变量,则函数:

    P(Xx0=F(x),<x<)

    称为X的分布函数

  3. 二项分布

    pi=b(i;n,p)=(ni)pi(1p)ni,i=0,1,

    记为 XB(n,p)

  4. 泊松分布

    P(X=i)=eλλi/i!

    记为 XP(λ) . 它多试出现在当 X 表示在一定时间或空间内出现的事件个数这种场合

    一般来说,若 XB(n,p) ,其中 n 很大, p 很小而 np=λ 不太大时,则 X 的分布接近于泊松分布

  5. 超几何分布

    P(X=m)=(Mm)(NMnm)/(Nn)

    其中, 0mM nmNm
    n/N 很小,则放回与不放放回差别不大,这时候超几何分布与二项分布很像

  6. 几何分布
    概率论与数理统计(随机变量及概率分布)_第1张图片

  7. 伯努利分布(补充)
    概率论与数理统计(随机变量及概率分布)_第2张图片

连续随机变量

  1. 设连续随机变量 X 有概率分布函数 F(x) ,则 F(x) 的倒数 f(x)=F(x) ,则成为 X 的概率密度函数

    解释:根据定义 [F(x+h)F(x)]/h 可以解释为为在 x 点附近 h 这么长区间内,单位长所占有的概率,或者说它反映了概率在 x 点处的“密集程度”。你可以设想一条极细的无穷长的金属杆,总质量为1,概率密度相当于杆上各点的质量密度

  2. 正态分布
    如果一个随机变量具有概率密度函数

    f(x)=(2πσ)1e(xμ)2/2σ2,<x<

    则称 X 为正态随机变量并记为 XN(μ,σ2) . N(0,1) 为“标准正态分布”
    这里写图片描述

  3. 指数分布
    若随机变量 X 有概率密度函数
    x={λeλx,0,x>0x5

    则称 X 服从指数分布。其中 λ>0 为参数。
    f(x) 在0处是不连续的,常应用在寿命分布。即瞬时的失效率是常数 λ
    概率论与数理统计(随机变量及概率分布)_第3张图片
  4. 威布尔分布 略(与指数分布类似,但是考虑的是衰老)
  5. 均匀分布
    x={1/(ba),0,axbx

    记为 XR(a,b)

多维随机变量

离散型随机向量的分布

  1. X=(X1,X2,,Xn) n 为向量,其每个分量,即 X1,,Xn ,都是一维随机变量,则称 X 是一个 n 维随机向量或 n 维随机变量
  2. 多项分布
    概率论与数理统计(随机变量及概率分布)_第4张图片

随机变量的数字特征

数学期望

期望

  1. 设随机变量 X 只取有限个可能值 a1,,am . 其概率分布为 P(X=ai)=pi,i=1,,m .则 X 的数学期望,记为 E(X) EX 定义为:

    E(X)=a1p1+a2p2+,ampm

    数学期望定义为级数之和: E(X)=i=1aipi ,需要要求这个级数绝对收敛

方差与矩

方差

统计三大分布:卡布分布、t分布、正态分布

  1. Var(X)=E(XEX)2

    称为方差,其平方根 Var(X) 称为 X 的标准差
  2. 定理
    1. 常数的方差为0。
    2. C 为常数,则 Var(X+C)=Var(X)
    3. r若 C 为常数,则 Var(CS)=C2Var(X)
  3. 独立随机变量之和的方差,等于各变量的方差之和

  1. X 为随机变量, c 为常数, k 为正整数。 E[(Xc)k] 称为 X 关于 c 点的 k 阶矩
    1. c =0时,称为 X 的原点矩
    2. c=E(X) . 这时 μk=E[(XEX)k] 称为 X k 阶中心矩

协方差与相关系数

  1. E(X)=m1,E(Y)=m2,Var(X)=σ21,Var(Y)=σ22 ,
    E[(Xm1)(Ym2)] X,Y 的协方差,并记为 Cov(X,Y) .如果 X,Y 独立,则协方差为0

  2. Cov(X,Y)/(σ1σ2) X,Y 的相关系数,记为 Corr(X,Y) . 如果 X,Y 独立,则相关系数为0

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