定积分之旋转曲面的面积

极坐标
设 AB⌢ 的方程为 ρ=ρ(θ) ， α≤θ≤β ,则
S=2π∫βαρ(θ)sinθ[ρ(θ)]2+[ρ′(θ)]2−−−−−−−−−−−−−√dθ
例：求心形线(心脏线) ρ=a(1+cosθ) , a>0 绕极轴旋转一周的旋转曲面面积。
代公式
弧元 ds=[ρ(θ)]2+[ρ′(θ)]2−−−−−−−−−−−−−√dθ=[a(1+cosθ)]2+[a(−sinθ)]2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√dθ=2√a1+cosθ−−−−−−−√dθ
S=2π∫βαρ(θ)sinθ[ρ(θ)]2+[ρ′(θ)]2−−−−−−−−−−−−−√dθ
=2π∫π0a(1+cosθ)sinθ2√a1+cosθ−−−−−−−√dθ
=22√πa2∫π0(1+cosθ)32sinθdθ
=−22√πa2∫π0(1+cosθ)32d(1+cosθ)
=−22√πa225(1+cosθ)52|π0
=−22√πa225(−42√)
=325πa2

心形线matlab画法,matlab中可以使用polar极坐标画图
θ为0→π 的心形线

clear
clc
theta=0:pi/100:pi;
r=4*(1-cos(theta));
polar(theta,r)

θ为0→2π 的心形线

clear
clc
theta=0:pi/100:2*pi;
r=4*(1-cos(theta));
polar(theta,r)