PE 439 Sum of sum of divisors | 51nod 1220 约数之和

题目：https://projecteuler.net/problem=439以及http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1220

题意：
令 d(x) 表示 x 的所有因子之和，求 ∑Ni=1∑Nj=1d(i∗j)mod109+7 。
N≤109 。

题解：
令 [x] 为布尔表达式 x 的值，即若 x 为真则 [x]=1 ，否则 [x]=0 。
那么有 d(x)=∑xi=1[i|x]∗i
于是问题可以写成

∑i=1N∑j=1Nd(i∗j)=∑i=1N∑j=1N∑d=1i∗j[d|i∗j]∗d

考虑如何简化掉 j ，我们可以计算每个 d 对应多少个 j 。因为 d|i∗j 等价于 dgcd(i,d)|j ，所以上式可以化为

=∑i=1N∑d=1i∗N⌊N∗gcd(i,d)d⌋∗d

再考虑如何将 gcd(i,d) 化为互质的情况，令 d′=gcd(i,d) ，则有

=∑d′=1N∑i=1N∑d=1i∗N[gcd(i,d)=d′]∗⌊N∗gcd(i,d)d⌋∗d

由于 id′ 和 dd′ 是整数，我们将上式的 i 和 d 用 id′∗d′ 和 id′∗d′ 替换

=∑d′=1N∑id′=1⌊Nd′⌋∑dd′=1id′∗N[gcd(id′,dd′)=1]∗⌊N∗d′d⌋∗dd′∗d′

再进行一个下标变换，将 id′ 和 dd′ 用 i 和 d 替换

=∑d′=1N∑i=1⌊Nd′⌋∑d=1i∗N[gcd(i,d)=1]∗⌊Nd⌋∗d∗d′=∑d′=1Nd′∑i=1⌊Nd′⌋∑d=1N[gcd(i,d)=1]∗⌊Nd⌋∗d

可以看到 d 和 d′ 之间没有约束，而且 i 和 d′ 的关系比 d 的关系简单，不妨将 d′ 和 i 交换求和顺序，考虑每个 i 对应哪些 d′ ，尝试将 d′ 约去

=∑i=1N∑d′=1⌊Ni⌋d′∗∑d=1N[gcd(i,d)=1]∗⌊Nd⌋∗d=∑i=1N⌊Ni⌋∗(⌊Ni⌋+1)2∑d=1N[gcd(i,d)=1]∗⌊Nd⌋∗d

而对于处理 [gcd(i,d)=1] ，想必读到这里的你已经想出了处理它的方法，利用莫比乌斯函数的经典定理 ∑Ni=1[i|N]∗μ(i)=[N=1] 可以得到

=∑i=1N⌊Ni⌋∗(⌊Ni⌋+1)2∑d=1N⌊Nd⌋∗d∑d′=1N[d′|gcd(i,d)]∗μ(d′)=∑i=1N⌊Ni⌋∗(⌊Ni⌋+1)2∑d=1N⌊Nd⌋∗d∑d′=1N[d′|i]∗[d′|d]∗μ(d′)

细心的你一定发现了 i 和 d 互相无关，它们分别只和 d′ 有关，于是我们交换求和顺序，算每个 d′ 对应的 i 和 d ，则有

=∑i=1N⌊Ni⌋∗(⌊Ni⌋+1)2∑d=1N⌊Nd⌋∗d∑d′=1N[d′|i]∗[d′|d]∗μ(d′)=∑d′=1Nμ(d′)∑id′=1⌊Nd′⌋⌊Nid′∗d′⌋∗(⌊Nid′∗d′⌋+1)2∑dd′=1⌊Nd′⌋⌊Ndd′∗d′⌋∗dd′∗d′=∑d′=1Nd′∗μ(d′)∑i=1⌊Nd′⌋⌊Ni∗d′⌋∗(⌊Ni∗d′⌋+1)2∑d=1⌊Nd′⌋⌊Nd∗d′⌋∗d

到这里，我们已经得到了一个不错的式子，可以直接进行计算了，无需继续化简。（再化简下去 LATEX 都要炸啦~）
令 f(x)=x∗μ(x) ， g(x)=∑xi=1⌊xi⌋∗(⌊xi⌋+1)2 ， h(x)=∑xi=1⌊xi⌋∗i ，则所求为 ∑Ni=1f(i)∗g(⌊Ni⌋)∗h(⌊Ni⌋) 。
这个式子里用到的 g(x) 和 h(x) 共 O(N−−√) 个，每个的计算复杂度为 O(x√) ，所以把所有所需的 g 和 h 算出来的复杂度为 O(∑N√i=1Ni−−√)=O(N34) ，但是达不到这个上界。
如果可以快速计算出一段 f(x) 的值，就可以结合上面的做法解决这个问题，注意到 f(x) 是两个积性函数的乘积，所以 f(x) 也是积性函数，我们可以得到类似梅滕斯函数（莫比乌斯函数的前缀和函数）的计算方法，令 S(x)=∑xi=1f(i) ，则有

S(x)=1−∑i=2x∑d=1i−1[d|i]∗i∗μ(d)=1−∑i=2x∑d=1⌊xi⌋i∗d∗μ(d)=1−∑i=2xi∗S(⌊xi⌋)

于是我们可以利用线性筛预处理出前 T 个值，那么计算复杂度变为 O(∑NTi=1Ni−−√)=O(NT√) ，当 T 取 N23 的时候可以做到 O(N23) 。
于是总体复杂度为 O(N34) 。

代码先不给啦~