“取反加一”等价于“减一取反”的证明

在补码运算中，经常需要进行“取反加一”操作。本文尝试证明“减一取反”操作与“取反加一”操作等价。

一、设定

假如一个补码数有"1+x"位，第1位为符号位，后面x位为有效数据位。“取反加一”或者“减一取反”操作在有效数据位上进行。

二、证明
证明分为两种情况：
2.1、从右往左数，遇到的第一个"1"所在位为第k位，且k<=x
可以将有效数据位分为两部分：[x...k+1]和[k...1]，前半部分A可以表示成"xxxx...xxx"的形式，后半部分B可以表示成"1000...000"的形式。
对有效数据位分别进行“取反加一”操作和“减一取反”操作。
“取反加一”操作结果为：
前半部分A转换成"~A"
后半部分B转换成"B"["取反"得到"0111...111"，"加一"得到"1000...000"]
“减一取反”操作结果为：
前半部分A转换成"~A"

后半部分B转换成"B"["减一"得到"0111...111"，"取反"得到"1000...000"]

证明两种操作等价

2.2、从右往左数，从第1位到第x位都为"0"，不存在"1"位
可以将有效数据位表示成"0000...000"的形式。
对有效数据位分别进行“取反加一”操作和“减一取反”操作。
“取反加一”操作结果为：
"0000...000"["取反"得到"1111...111"，"加一"得到"0000...000"]
“减一取反”操作结果为：

"0000...000"["减一"得到"1111...111"，"取反"得到"0000...000"]

证明两种操作等价

综合2.1和2.2，可以证明“取反加一”操作和“减一取反”操作等价