hihocoder 1055 刷油漆（树形dp）

题意：有棵节点数为n的树，节点都有对应的分数，要求找到以1为根的包含m个结点的树所得分数最大。

思路：dp[u][j]表示以节点u为根的大小为 j 的树可得到的最大分数，答案就是dp[1][m]。

状态转移方程为：dp[u][j]=max(dp[v1][k1]+dp[v2][k2]+...+dp[vx][kx])，v是u的子节点。

这里就有了泛化物品的概念（不懂的可以去看一下大牛的背包九讲）。就是说节点u给它的子节点v不同的k值，u从v那里得到的分数是不一样的，但是对于每个v至多给一次。然后解决泛化物品的方法就是合二为一（把两个泛化物品变为一个），不断缩小规模，最后找到答案。

注意我们要dp[u][j](2<=j<=m)全都用一遍泛化物品，这里特别要注意是 j 是从小到大，还是从大到小。

对于某个j来说：dp[u][j] = max(dp[u][j], dp[u][j - k] + dp[v][k])，我们要根据这个式子来不断更新dp[u][j]的值，更新的过程中要用到dp[u][j-k]的值，也就是说比 j 小的值。试想一下如果我们 j 是从小到大更新的，那么我用dp[v][k]来更新dp[u][j]的时候用到的dp[u][j-k]是有可能包含dp[v][k]的，也就是说我们求dp[u][j-k]的时候可能用过了dp[v][k]，但是dp[v][k]在dp[u][j]中至多出现一次，，现在会出现两次，所以是错误的。正解j要从大到小更新。

#pragma warning(disable:4996)
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;

vector<int>g[105];
int score[105];
int n, m;
int dp[105][105];//dp[i][j]表示以i为根的树中留下j个点可获得最大分数
bool vis[105];

void add(int u, int v){
	g[u].push_back(v);
}

void dfs(int u){
	vis[u] = true;
	memset(dp[u], 0, sizeof dp[u]);
	dp[u][1] = score[u];
	for (int i = 0; i < g[u].size(); i++){
		int v = g[u][i];
		if (vis[v])continue;
		dfs(v);
		for (int j = m; j >= 2; j--){
			for (int k = 1; k < j; k++){
				dp[u][j] = max(dp[u][j], dp[u][j - k] + dp[v][k]);
			}
			//k的顺序无关紧要
			/*for (int k = j - 1; k >= 0; k--){
				dp[u][j] = max(dp[u][j], dp[u][j - k] + dp[v][k]);
			}*/
		}
	}
}

int main(){
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", score + i);
	for (int i = 1; i < n; i++){
		int u, v; scanf("%d %d", &u, &v);
		add(u, v);
		add(v, u);
	}
	memset(vis, false, sizeof vis);
	dfs(1);
	printf("%d\n", dp[1][m]);
	return 0;
}