陶哲轩实分析-第3章-集合论-4-6

warning：个人笔记与习题解答，相信有很多错误
这一章全是各种逻辑推理，看完以后确实对集合论有了一定了解，了解了一些推理过程。习题也真多，所以分成1-3和4-6。

3.4 象和逆象

定义3.4.1
为什么根据替换公理，f(S)是明确定义了的
替换公理中，定义P(x,y)为 {y:∃x∈S使得f(x)=y} ，这样选出的集合就是f(S）

如何根据分类公理来定义f(S)
分类公理中，定义f(S)为 {y∈Y:∃x∈X使得f(x)=y}

为什么

y∈f(S)<=>∃x∈S,y=f(x)

感觉这就是象的定义，不明白作者为什么加了个为什么

例3.4.5的为什么
等号左边等于{2}!={1,2,3}
例3.4.6的为什么
等号左边等于{-2,-1,0,1,2}!={-1,0,1,2}

注3.4.7说得对于双射的两种定义逆函数的方式见习题的说明：
V在 f−1 的前象
V在f下的逆象

3.10幂集公理元素数量为 YX ，因为对于X中的每个元素，对应的函数值可能性等于Y的元素数量

为什么指标集是空的则集合为空？
因为没有任何集族

习题

3.4.1
f−1(y)=x
V在 f−1 下的前象

{x:∃y∈Y，使得f−1(y)=x}

V在f下的逆象

{x:f(x)∈V}

对于双射函数，上面两个集合相同。

3.4.2

S⊆f−1(f(S))

f(f−1(U))=U

，因为对于X中每个元素，Y中只有1个元素与其对应，对与Y中元素，X中可能有多个

3.4.3
根据3.4.1象的定义证明

f(A∩B):={f(x):x∈A∩B}

。上面的集合即属于 {f(x):x∈A} 也包含于 {f(x):x∈B} 。证明完毕，等于不成立，考虑A:{0,1}, B:{1,2}，f: 0->5 1->6 2->5。
对于

f(A)∖f(B)⊆f(A∖B)

考虑

f(A):={f(x):x∈A}

f(B):={f(x):x∈B}

f(A∖B):={f(x):x∈A∖B}

y∈f(A)∖f(B) 则对于A中某个x满足y=f(x)，并且B中所有x都有y!=f(x)
z∈f(A∖B) 则存在某个属于A但不属于B的元素x满足f(x)=z。等号不成立，同样考虑上面的例子A:{0,1}, B:{1,2}，f: 0->5 1->6 2->5。
f(A∪B)=f(A)∪f(B) 两个集合都为 {f(x):x∈A or x∈B}

3.4.4

f−1(U∪V)={x∈X:f(x)∈U∪V}=

{x∈X:f(x)∈U}∪{x∈X:f(x)∈V}=f−1(U)∪f−1(V)

其它两个证明类似

3.4.5如果f是满射，则对于每一个 y∈Y,都存在x=f−1(y)∈X ，显然 f(f−1(y))=y 。
如果对于每个 y∈S满足f(f−1(y))=y ，显然存在 x=f−1(y)∈X 满足f(x)=y，这就是满射的定义。
后面的证明类似。

3.4.6
设 Y⊆X ，定义函数f：X->{0, 1}，如果对X中x定义 f(x)=1,x∈Y ，否则f(x)=0，这样X的一个子集对应一个函数，根据幂集公理，所有函数为一个集合，这样所有子集也就是一个集合，具体定义方式如下：
根据幂集公理， {0,1}X 是一个集合，记为A，设 f∈A ，对f记 Bf=f−1({1}) 为一个集合，应用替换公理，所有 Bf 的集合为一个集合。
3.4.7
根据3.4.6，所有X的子集构成一个集合A，所有Y的自己构成一个集合B，对于A中任意一个元素x，B中任意一个元素y，x和y都是集合，根据幂集公理，x为定义域，y为值域构成的所有函数构成一个集合C，同样根据幂集公理，所有x和y为元素的集合也可以组成集合（这个如果推理起来感觉比较麻烦，比如3.5.1，如果能用笛卡尔乘积就简单些），记为D。这样，对于D中某个元素，即某个确定的的x和y，利用替换公理可以将其替换为C中的元素，再对D运用并公理，得到的函数集合就是从X到Y的全体部分函数组成的集合。

3.4.8 并公理和双元素集公理蕴含双并公理
考虑两个集合A和B，根据双元素集公理，存在集合S={A, B}，
对S使用并公理，则

x∈∪S=x∈A或者x∈B

，这就是公理3.4中定义的双并。

3.4.9
等号两边都等于

{x∈Aβ∩Aβ′:对于一切α∈I,x∈Aα}

对于3.4则是显然的

3.4.10

(∪α∈IAα)∪(∪α∈JAα)={Aα:αinI∪J}=∪α∈I∪JAα

后一半同理

3.4.11
第一个等式两边集合的元素都满足：属于X，但不属于任何 Aα
第二个等式两边集合的元素都满足：属于X，但不属于某个 Aα