莫比乌斯函数的个人学习总结1
ACM真的不知道是否该坚持下去了。遇到的困难不是一般的多，绩点为此付出了极大代价，整天属于睡眠不够状态，但一种热爱会推动我向前吧。。。。。。。。。
言归正传吧。
说实话学这个蛋疼得很，关于这个的定理论文很少，而且描述的十分高深。我就描述一下自己的学习心得吧。这个如果直接说的话说不清楚，我就结合例子来阐述一下吧。
两个重要的公式。
例子1：hdu5297
这题算是入门的吧：题意是删除给定数字以内，可以表示成a^b形式的数字。
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <map>
#define clr(x, y) memset(x, y, sizeof x)
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,r;
int prime[30]={-2,-3,-5,-7,-11,-13,-17,-19,-23,-29,-31,-37,-41,-43,-47,-53,-59,-61,-67};
//用负数，便于容斥时判加减
vector <int> m;
void init()
{//得到<=r的质数的各种组合的乘积
m.clear();
for(int i=0;abs(prime[i])<=r;i++)
{
int si=m.size();
for(int j=0;j<si;j++)
{
if(abs(m[j]*prime[i])<=63)
m.push_back(m[j]*prime[i]);
printf("%d\n",m[j]*prime[i]);
}
m.push_back(prime[i]);
}
}
LL cal(LL x)
{
LL sum=0;
int si=m.size();
for(LL i=0;i<si;i++)
{
//+0.5提高精度，-1 由于1一定会减掉，所以先不计算1
LL num=(LL)pow(x+0.5,1.0/abs(m[i]))-1;
if(m[i]<0) sum+=num;
else sum-=num;
}
return x-sum-1;
}
LL bis()
{
//迭代计算，用temp暂存，避免算两次cal(num)
LL num=n;
LL temp=cal(num);
while(temp<n)
{
num+=n-temp;
temp=cal(num);
}
return num;
}
int main()
{
//freopen("input.txt","r",stdin);
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld %lld",&n,&r);
init();
printf("%lld\n",bis());
}
return 0;
}
借用一下别人家的代码。
例子2：BZOJ 2440
n次询问，每次询问有多少个数对(x,y)满足a<=x<=b,c<=y<=d且gcd(x,y)=k
N<=5W,1<=a<=b<=5W,1<=c<=d<=5W。
首先利用容斥原理将一个询问拆分成四个，每次询问有多少个数对(x,y)满足1<=x<=n,1<=y<=m且gcd(x,y)=k
这个问题等价于询问有多少个数对(x,y)满足1<=x<=floor(n/k),1<=y<=floor(m/k)且x与y互质
这题要注意最后的公式因为取值有相同的，所以用前缀数组来算莫比乌斯数值。
同样代码奉上
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=50010;
int Prime[maxn],NotPrime[maxn],mu[maxn],sum[maxn];\\prime用来记录素数的数组，notprime用来计算非素数的数组，sum前缀莫比乌斯系数之和，mu单个的莫比乌斯系数。
int a,b,c,d,k,T;
void Get_MU()
{
int cnt=0;
mu[1]=1;
for (int i=2;i<=maxn;i++)
{
if (!NotPrime[i]) {Prime[cnt++]=i;mu[i]=-1;}
for (int j=0;j<cnt && Prime[j]*i<=maxn;j++)
{
NotPrime[i*Prime[j]]=1;
if (i%Prime[j]==0) break;
mu[i*Prime[j]]=-mu[i];
}
}
for (int i=1;i<=maxn;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
int Calc(int n,int m)
{
int ans=0,pos;
if (n>m) swap(n,m);
for (int i=1;i<=n;i=pos+1)
{
pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
}
return ans;
}
int main()
{
Get_MU();
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);a--;c--;
a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;
printf("%d\n",Calc(b,d)+Calc(a,c)-Calc(a,d)-Calc(b,c));
}
return 0;
}
例子3：BZOJ 2301
这题有些蛋疼需要一些数论公式的推导与证明：
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后续还有……（蛋疼）