单调队列之烽火传递问题
烽火台又称烽燧，是重要的防御设施，一般建在险要处或交通要道上。一旦有敌情发生，白天燃烧柴草，通过浓烟表达信息：夜晚燃烧干柴，以火光传递军情。在某两座城市之间有n个烽火台，每个烽火台发出信号都有一定的代价。为了使情报准确的传递，在m个烽火台中至少要有一个发出信号。现输入n,m和每个烽火台发出的信号的代价，请计算总共最少需要话费多少代价，才能使敌军来袭之时，情报能在这两座城市之间准确的传递。
例如，有5个烽火台，它们发出信号的代价为1,2,5,6,2，且m为3，则总共最少花费的代价为4，即由第2个和第5个烽火台发出信号。
先翻译成数学题，给定n个正数的序列A1,A2, A3,...., An，定义m子序列Ai1,Ai2, Ai3,...., Aik，该子序列的任意两个相邻元素的下标差不超过m(i2-i1<=m...)，而且i1-1<m，n-ik<m，求和最小的m子序列。
此题网上也有答案，无奈都是颇为简单，个人能力有限实在难以理解，故成此文。
最关键的是抽象出状态转移方程，令F[i] 表示前i个正数序列的最小和m子序列，并且选中最后一个元素(第i个元素)，注意选中最后一个元素非常关键，之前个人无法理解就是因为没有认识到这一点。可以看到，n个正数序列的最小和m子序列必定以某个数结尾，所以此m子序列的最后一个数一定是An-m+1..... An其中之一，即最小和为MIN(F[n-m+1]...F[n])
动态规划
根据以上的定义，可以很轻松的写出F[i]的状态转移方程，如下：
F[i] = Ai +MIN(F[i-m]...F[i-1])
其代码如下，复杂度为O(n^2)：
static unsigned long long discrete_sum_dp(int *s, int n, int m)
{
int i, j;
unsigned long long *F = NULL, min = -1;
F = malloc(sizeof(unsigned long long) * (n + 1));
memset(F, -1, sizeof(unsigned long long) * (n + 1));
F[0] = 0;
for (i = 1;i <= n;i++) {
for (j = i - 1;j >= 0 && j >= i - m;j--) {
if (F[j] + s[i - 1] < F[i])
F[i] = F[j] + s[i - 1];
}
}
#ifdef DEBUG
for (i = 0;i <= n;i++)
printf("F[%d] = %lld\n", i, F[i]);
#endif
for (i = n;i >= n - (m - 1);i--) {
if (min > F[i])
min = F[i];
}
return min;
}
单调队列
观察其动态规划时的状态转移方程，发现其关键点是获取区间内的最小值，注意这个区间是动态移动的，这一类问题都可以使用单调队列完成。
使用数组P存储F的下标，而且数组P单调递增，即对于任意i,j属于P，i<j则有F[i]<=F[j]，即数组P的头元素永远最小，而且保证数组P中最多存储最新的m个元素。
代码细节：
1. 每检查一个元素时，可以立刻获取F[i]，即F[i] = F[P[start]] + s[i-1]，因为数组P的头元素永远最小。
2. 从队列尾部开始检查是否大于F[i]，将数组P中所有大于F[i]的元素出队列，因为F[i]比这些出队列的元素都小，所以在获取区间最小值时不需要考虑比F[i]大而且比F[i]旧的元素。
3. 从队列首部开始检查，确保数组P中最多m个元素
代码如下：
static unsigned long long discrete_sum_pq(int *s, int n, int m)
{
int i;
int start = 0, end = -1; /* priority queue pointer */
unsigned long long *F = NULL;
int *P = NULL;
F = malloc(sizeof(unsigned long long) * (n + 1));
P = malloc(sizeof(unsigned int) * (n + 1));
memset(F, -1, sizeof(int) * (n + 1));
F[0] = 0;
P[++end] = 0;
for (i = 1;i <= n;i++) {
F[i] = F[P[start]] + s[i - 1];
for (;end >= start && F[P[end]] > F[i];)
end--;
end++;
P[end] = i;
for (;start <= end && (i - P[start]) >= m;)
start++;
}
#ifdef DEBUG
for (i = 0;i <= n;i++)
printf("F[%d] = %lld\n", i, F[i]);
for (i = start;i <= end;i++)
printf("P[%d] = %d\n", i, P[i]);
#endif
return F[P[start]];
}