[JZOJ4378] 八卦天盘

Determinant

Definition

现在有 n 行 n 列的方矩阵 A ，它可以写成

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a1,1a2,1⋮an,1a1,2a2,2⋮an,2……⋱…a1,na2,n⋮an,n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

记 A 矩阵的行列式为 det(A) ，可以表示成

∣∣∣∣∣∣∣a1,1a2,1⋮an,1a1,2a2,2⋮an,2……⋱…a1,na2,n⋮an,n∣∣∣∣∣∣∣

2×2 matrices

∣∣∣acbd∣∣∣=ad−bc

3×3 matrices

∣∣∣∣adgbehcfi∣∣∣∣=a∣∣∣ehfi∣∣∣−b∣∣∣dgfi∣∣∣+c∣∣∣dgeh∣∣∣=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)=aei+bfg+cdh−ceg−bdi−afh.

n×n matrices

det(A)=∑σ∈Snsgn(σ)∏i=1nai,σi

其中， Sn 是集合 {1,2,…,n} 的所有置换。
sgn 表示置换 σ 的奇偶性，当 σ 的逆序对数为偶数个时，
sgn(σ)=1 ，而为奇数个时， sgn(σ)=−1 。

Properties of the determinant

1. 交换矩阵不同两行，行列式值取相反数。
2. 将某行的任意倍加到另一行，行列式值不变。
3. 如果矩阵是上三角矩阵，行列式值等于对角线元素的积。

Problem

Description

给定 N 个点 M 条边的有向无环图，
另外图中有 K 个入度为零的起始点 si(si<si+1)
和 K 个出度为零的终止点 ti(ti<ti+1) ，
现在要为每个起始点 si 安排一个终止点 tai ，
每个终止点 tai 要用且只能用一次，
一个方案合法，当且仅当存在 si 到 tai 的路径，且这些路径没有交集。
当排列 {an} 的逆序对数为偶数时，该方案贡献为 1 ，否则为 −1 。
问所有方案的贡献和，答案对质数 P 取模。

Constraint

N≤6×102

M≤105

P≤109+7

Analysis

我们先考虑一个简单点的问题。

K=2 且起始点为 a1,a2 ，终止点为 b1,b2 。
记 Wu,v 为 u 到 v 的路径数，
Fu,v,p 为路径 up,vp 第一次有交集是在点 p 的方案数。
因为可行方案只有 a1b1,a2b2 或者 a1b2,a2b1 ，
根据题目贡献的定义，可以得到答案是

−(Wa1,b1⋅Wa2,b2−∑iFa1,a2,i⋅Wi,b1⋅Wi,b2Wa1,b2⋅Wa2,b1−∑iFa1,a2,i⋅Wi,b1⋅Wi,b2)

化简式子，发现答案是
Wa1,b1⋅Wa2,b2−Wa1,b2⋅Wa2,b1 ，
这个形式非常的优美，和 2×2 matrices行列式的公式是相类似的。

然后我们可以试验 K=3 的情况，也可以对照 n×n matrices行列式公式，
发现答案的形式是和行列式的计算公式是一样的。

那我们利用这个结论，不难得出这道题的解决方式。
算出每对起点终点 (s,t) 间的路径数，这个用简单的拓扑排序就可以解决，
这相当于处理出 [K×K] 的矩阵，然后根据行列式的性质，我们进行高斯消元，从而算出矩阵的行列式。

时间复杂度： O(N(N+M)+K3) 。