拓扑学基础 Week 2

如何知道一个点是否在 $\bar{A}$ 中

定理：已知 $A$ 是 $(\mathbb{X},\mathcal{T})$ 的子集，则有以下两条成立：

1. $x\in \bar{A}$ 当且仅当 $\forall U\in \mathcal{T}且x\in U,U\cap A\ne \varnothing$；
2. 设 $\mathcal{B}$ 是能够用来生成 $\mathcal{T}$ 的一个基，此时则有 $x\in \bar{A}$ 当且仅当 $\forall B\in \mathcal{B}且x\in B,B\cap A\ne \varnothing$。

对于这两条性质，用语言可以直观地描述为：

1. 点 $x$ 在集合 $A$ 的闭包之中，等价于，所有含 $x$ 的开集 $U$ 均与 集合 $A$ 有交集；
2. 点 $x$ 在集合 $A$ 的闭包之中，等价于，所有含 $x$ 的基元素 $S$ 均与集合 $A$ 有交集。

出于篇幅我们只证明其中的第一条。

考虑闭包的定义：$\bar{A}$ 是所有包含 $A$ 的开集 的交集。若 $x\in \bar{A}$ 则说明所有含 $A$ 的开集的公共部分一定包含了 $x$。考虑这个定理的逆否命题：

$$x\notin \bar{A}iff\exists C,A\subseteq C,\mathbb{X}-C\in \mathcal{T}s.t.x\notin C$$

即：$x$ 不在 $\bar{A}$ 中，等价于， $\mathbb{X}$ 中存在一个包含 $A$ 的闭集 $C$，使 $x$ 不在 $C$ 中。

从开集的角度说，就是：

$$x\notin \bar{A}iff\exists U\in \mathcal{T},U\cap A=\varnothing s.t.x\in U$$

考虑上文中提到的那个闭集合 $C$ 的补集 $U$，存在一个包含 $A$ 的 $C$ 使得 $x$ 不在 $C$ 中，也就是存在一个与 $A$ 没有交集的 $U$ 使得 $x$ 在 $U$ 中。

而这个命题的逆否命题即为我们要证明的 1。

$$x\in Aiff\forall U\in \mathcal{T},x\in U,U\cap A=\varnothing ,$$

例子

$\mathbb{R}$ 上的标准拓扑上 $A=(0,1]$，可以证明 $0\in \bar{A}$。

使用上文中的第二条，所有开区间在 $\mathbb{R}$ 上构成了标准拓扑的一个基，显然所有的含 $0$ 的开区间都和区间 $A$ 相交，因此 $0\in \bar{A}$。

聚点 Limit Point

$A$ 是拓扑空间 $(\mathbb{X},\mathcal{T})$ 的一个子集，$x\in \mathbb{X}$ 是拓扑空间中的一个点，若满足下面的条件，则称 $x$ 是 $A$ 的聚点：

$$\forall U\in \mathcal{T},x\in U,U\cap A-\{x\}\ne \varnothing$$

用语言描述为：$\mathbb{X}$ 中所有含 $x$ 的开集，都至少与 $A$ 相交于除 $x$ 之外的一点。注：$U\cap A$ 不一定包含了 $x$。

例子

在 $\mathbb{R}$ 上的标准拓扑空间上，集合 $A=\{\frac{1}{n}|n\in {\mathbb{Z}}_{+}\}$，$0$ 是集合 $A$ 的唯一一个聚点。

聚点和闭包的关系

设 $A$ 是 $(\mathbb{X},\mathcal{T})$ 的子集，$A^{\prime }$ 是 集合 $A$ 聚点构成的集合（有时也称 $A^{\prime }$ 为 $A$ 的导集），则有 $\bar{A}=A^{\prime }+A$。

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