TSP问题——动态规划

Traveling Salesman Problem

　　Description：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Time Limit: 4sec    Memory Limit:256MB

　　有编号1到N的N个城市，问从1号城市出发，遍历完所有的城市并最后停留在N号城市的最短路径长度。

　　Input：

　　第一行整数 T ：T组数据 （T<=20）　

　　每个case 读入一个N( 2 <= N <= 20)，接着输入N行，第i行有两个整数 xi , yi 表示第 i 个城市坐标轴上的坐标 。

　　Output：

　　每个case输出一个浮点数表示最短路径。四舍五入保留两位小数。

　　Sample Input：

　　1 4 0 0 1 0 1 1 0 1

　　Sample Output：

　　3.41

 

　　经典难题！数据开到这么小就知道没有那么简单的复杂度了，一般的算法，即爆搜，复杂度为 o( n! ) ，我们这里采用的动态规划算法，

　　算法复杂度已经从阶乘级降到了o( ( n^2 )*( 2^n ) ) （看起来也是相当恐怖的，不过像这种经典难题这种复杂度对我来说已经不错了）。

 

　　开始说说思路，一开始马上想到的必然是搜索，搜索必然超时，于是某大神直接告诉我——记忆化搜索，记忆化搜索能做的动规就能做，写递归太麻烦了于是动规！

　　题目中起点终点确定，我们可以考虑用一个二维dp数组来保存一个状态——dp[i]{V}表示从结点0到结点 i 途经V中所有节点的最短路径长（这里的V是一个集合）

　　于是状态转移方程可以为：dp[i]{V}=min( dp[i]{V} , dist[i][j]+dp[j]{V-{j}} )　　（j 属于 V）

　　

　　大思路定好了，我们来考虑细节部分，主要有以下部分：

　　1）建图等等：结构体point，距离函数dist；

　　2）集合V的表示：二进制数，即010表示三个数的集合第二个有，其余无；

　　3）dp过程的范围：1 ~ n-1 （最大可能为 1 ~ 18 ）；

　　

　　于是我们可以敲代码啦！

#include <bits/stdc++.h>
const double INF=10e7;

using namespace std;

int T,n,cnt;
double a[25][25],dp[25][1100000];

struct point{		//结点结构体 
	int x,y;
}pt[25];

double d(point a,point b){		//结点间距离 
	return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}

int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		cnt=1;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=2;i<n;i++) cnt<<=1;		//组合数（除起点终点外） 
		
		for(int i=0;i<n;i++)				//输入 
			scanf("%d %d",&pt[i].x,&pt[i].y);
		
		for(int i=0;i<n;i++)				//建边 
			for(int j=0;j<n;j++)
				a[i][j]=d(pt[i],pt[j]);
				
		for(int i=0;i<n;i++)				//初始化 
			for(int j=0;j<cnt;j++)
				dp[i][j]=INF;
		
		for(int i=0;i<n;i++)				//起点确定，定下初始条件 
			dp[i][0]=a[i][0];				
		for(int i=1;i<cnt;i++)				//从有元素考虑起 
			for(int j=1;j<n-1;j++)
			{
				for(int k=1;k<n-1;k++)
				{
					if((1<<k-1)&i)		//k is in the set
						dp[j][i]=min(dp[j][i],a[j][k]+dp[k][i-(1<<k-1)]);	//状态转移方程 
				}
			}
		double ans=INF;
		for(int i=1;i<n;i++)
			ans=min(ans,dp[i][cnt-1]+a[i][n-1]);
		
		printf("%.2lf\n",ans);
	}
	
	return 0;
}

之前动态规划也是做了不少的基础例题，这道题算是动态规划的第一次成功应用，还是蛮开心的，软创得加油啊！