素数之恋笔记

总结

读后感觉

有些书看完一章很想接着看下一章，比如好看的小说，另外一些则需要“坚持”才能看完后年的部分，这本书对我来说属于前一种，所以一个周末就看完一遍了，又用接下来5个工作日的空闲时间读了第二遍，以后某个时间可能还会读第3遍。第一部分很简单，第二部分的数学部分则有些难度。书中说只需要很少的数学知识就可以读懂黎曼猜想，并且如果读完还是不能理解黎曼猜想，就不可能理解了。读完以后，我发现这是事实，作者说的确实已经很基本了。

整体总结

书中的核心是素数定理与黎曼猜想，这两者究竟什么关系直到看完整本书最后才说明。在第19章说明了素数定理和 ζ 函数的关系，第21章说明了素数定理和黎曼猜想的关系。现在做个总结。
1. .素数定理 π(N)∼NlnN
2. 对 π(x) 比 x/lnx 更好的逼近 π(N)∼Li(N)=∫N0(1/lnt)dt
3. 通过 π 函数定义J函数

J(x)=π(x)+12π(x√))+13π(x√3))+...

4. 通过J函数反推 π 函数

π(x)=∑nμ(n)nJ(X−−√n)

5. ζ 函数

ζ(s)=1+12s+13s+14s+...

6. 书中一直提的金钥匙,，也就是欧拉积公式

ζ(s)=∑nn−s=∏p(1−p−s)−1

7. 金钥匙（微积分形式）

1slnζ(s)=∫∞0J(x)x−s−1dx

而

π(x)=∑nμ(n)nJ(x√n),μ为莫比乌斯函数

8. 最后的精确公式

J(x)=li(x)−∑ρLi(xρ)−ln(2)+∫axdtt(t2−1)lnt

其中 ρ 为黎曼 ζ 函数非平凡零点

书中一些补充和公式的证明

第1章

一些有趣的数列
调和级数

∑N1n=1+12+13+14+...=ln(n+1)+r

其中r=0.577…为欧拉常数
2√ 数列，上部加下部得到新的下部，上部加两倍下部得到新的上部

11,32,75,1712,...

其中 a1=1,an=bncn,cn=cn−1+bn−1,bn=bn−1+2cn−1,n>1，an 逼近 2√
费了好大劲终于把这个证明了
考虑上面数列减1

11,12,25,512,1229dn=fnen

fn=en−1
e1=1
e2=2
en=2en−1+en−2 对于n>2
待定系数，上式可以写成

en−(1+2√)en−1=(1−2√)(en−1−(1−2√)en−2)

令 gn=en−(1+2√)en−1 得

gn=(1−2√)gn−1,g2=1−2√

gn=(1−2√)n−1=en−(1+2√)en−1

故
en=(1+2√)en−1+(1−2√)n−1
(1+2√)en−1=(1+2√)2en−2+(1+2√)(1−2√)n−1
(1+2√)2en−2=(1+2√)3en−3+(1+2√)2(1−2√)n−1
…
(1+2√)n−4e4=(1+2√)n−3e3+(1+2√)n−4(1−2√)n−1
(1+2√)n−3e3=(1+2√)n−2e2+(1+2√)n−3(1−2√)n−1
等号左右分别相加得
en=2(1+2√)n−2+(1−2√)n−1(1+2√)n−2−12√
=2(1+2√)n−2−(1−2√)n−12√+1−2√2√(−1)n−2
而 an=bncn=1+dn=en+en−1en
=4+22√−(22√−3)(1−2√1+2√)n−32+2√−3−22√2√(1−2√1+2√)n−3−1−2√2√(−11+2√)n−3
当n变大以后，上面分数除前面常数项，后面项都逼近0，所以上式逼近 2√
证毕
π 数列，第N个数:如果N是偶数，则用 NN+1 乘前一个数，否则如果N为奇数，则用 N+1N 乘前一个数

41,83,329,12845,...

e数列

11,(112)2,(113)3,(114)4,...

第5章

lnx增长的很慢，比x的任意正数次方都慢，使得它与 x0 非常像，就好像第7张表7.2的多项式积分，lnx取代了 x0 的位置
函数 x−2 x−1 x0
积分 −x−1 lnx x
在 x0 不能出现的某些地方，lnx作为替代品出现
这一章 ζ 函数出现，其实 ζ(1) 就是调和级数， ζ(2) 就是巴塞尔问题，更多的 ζ 函数后面才会提到，然而，对于调和级数和巴塞尔问题，欧拉的证明都很容易理解，虽然可能不是很严谨，所有级数相关证明，泰勒级数还是要理解的，复习下高数相关章节即可
调和级数计算：
ln(1+x)=x−x2/2+x3/3−...
ln(1+1/x)=1/x−1/2x2+1/3x3−...
1/x=ln((x+1)/x)+1/2x2−1/3x3+...
上式带入x=1,2,…,n得到
1/1=ln(2)+1/2−1/3+1/4−1/5+...
1/2=ln(3/2)+1/2∗4−1/3∗8+1/4∗16−...
…
1/n=ln((n+1)/n)+1/2n2−1/3n3+...
两边相加得到
1+1/2+1/3+1/4+...1/n=ln(n+1)+1/2∗(1+1/4+1/9+...+1/n2)−1/3∗(1+1/8+1/27+...+1/n3)+......
后面那一串和都是收敛的，我们可以定义
1+1/2+1/3+1/4+...1/n=ln(n+1)+r
Euler近似地计算了r的值，约为0.5772…这个数字就是后来称作的欧拉常数
巴塞尔问题计算
同样是根据一个泰勒级数
sinx=x−x33!+x55!−x77!+...
两边除以x sinxx=1−x23!+x45!−x67!+...
sinxx=0 的根出现在 x=n∗π,n=±1,±2,... ，因此
sinxx=(1−xπ)(1+xπ)(1−x2π)(1+x2π)...
将右边展开，则 x2 系数为

−(1π2+14π2+19π2+...)=−1π2∑n=1∞1n2

所以

−16=−1π2∑n=1∞1n2

得出结论

∑n=1∞1n2=π26

第7章

由于积分与和有千丝万缕的联系，所以素数定理和Li(x)函数就被关联了起来
素数定理是说小于某个数的素数个数，等于这个N个数每个数是素数的概率的和
Li(x)的定义是小于x对1/ln(x)的积分

第9章

这一章给出了 ζ 函数的定义：
对x>1

ζ(s)=1+12s+13s+14s+...

对1>x>0

η(s)=1−12s+13s−14s+...

ζ(s)=η(s)÷(1−12s−1)

最后一个公式

ζ(1−s)=21−sπ−ssin(1−s2)(s−1)!ζ(s)

这个公式太复杂了，我是搞不明白怎么推出来的，不过借此了解下任意数的阶乘。
这本书前面已经提到很多对数列或者某种规则生成的数的计算，第一章给出了能生成 πe 这些数的规则，因此数学家们也找到了阶乘相关等式

N!∼NNe−N2πN−−−−√

另一方面也在寻找能拟合阶乘的函数，这就是伽马函数

Γ=∫+∞0tx−1e−tdt

它的特点是

Γ(x+1)=xΓ(x)

定义

N!=Γ(N+1)

网上有一篇讲这个很好的文章
神奇的Gamma函数

第10章

PNT由如下结果推得

ζ函数所有非平凡零点都有小于1的实部

第13章

复数的加减乘除都没有问题，幂是有问题的，不知道为啥作者没说 eπi=−1 ，但是两边不能随意取幂，我们不能说 e23πi=(−1)23 ，这时候要用欧拉公式

eix=cosx+sinx

详细情况只能研究复变函数了。事实上，复数域中指数函数的定义为

f(z)=ex(cosy+isiny)其中x=Re(z)y=Am(z)

上面的问题后来理解了， (−1)23 在复数域中确实有一个值是 e23πi
反复读了几遍这一章想了解这个可能需要一生去研究的 ζ 函数，只能了解各大概，不过作者13.6、13.7、13.8给人帮助很大，了解了这个函数的一些特点，作为一个很业余的数学爱好者，可能也就这样了

第14章

哈代在1914年证明 ζ 函数有无穷多个非平凡零点满足黎曼假设，即实部是1/2.
李特尔伍德则证明了Li(x)与 π(x) 交替上升而不是前者一定大于后者
科赫证明如果黎曼假设成立 π(x)=Li(x)+O(x√lnx)

第15章

定义莫比乌斯函数 μ 以后 ζ 函数可以写作

1ζ(s)=∑nμ(n)ns

定义麦腾尔函数M(k)为莫比乌斯函数前k项和，则得出比黎曼假设更强的定理： M(k)=O(k12)
与黎曼假设一样强的定理是： M(k)=O(k12+ϵ)

第16章

这一章包含了2个内容
ζ 函数临界线上虚部的值（高度）表示为t或T，到某一高度零点个数定义为

N(T)=T2πln(T2π)−T2π+O(lnT)

另一个是在一段区间证明黎曼猜想

第17 18章

这两张主要讲了 ζ 函数和物理上的一些关系，关键是艾尔米特矩阵

第19章

这一章说明了素数定理和 ζ 函数的关系

1slnζ(s)=∫∞0J(x)x−s−1dx

而

π(x)=∑nμ(n)nJ(x√n),μ为莫比乌斯函数

这样 π(x) 就可以用 ζ 函数来表示了。第二个式子 π(x) 和J函数的关系对于不了解的人肯定很困惑，这是解析数论里面最基本的莫比乌斯反演推出的。看了apostol的Introduction to Analytic Number Theory第2章2.14定理2.23得出

G(x)=∑n≤xα(n)F(xn)∼F(x)=∑n≤xμ(n)α(n)G(xn)

而

J(x)=∑n=1logx1nπ(x1n)=∑n=1logx1nπ(elogxn)

logx=ythenJ(y)=∑n=1y1nπ(eyn)

将 α(n)=1n 和 F(x)=π(ex) 以及 G(x)=J(ex) 应用于上面的莫比乌斯卷积公式得出

π(ey)=∑n≤yμ(n)nJ(exn)

得出最后结果

π(x)=∑n≤logxμ(n)nJ(x1n)

这一章主要就是介绍第一个式子， ζ 和J函数之间的关系是怎么推出来的，左边的展开相对容易理解，右边展开需要了解多项式积分和积分其实是求面积
左边
lnζ(s)=−ln(1−2−s)−ln(1−3−s)−ln(1−5−s)−...
根据无穷级数公式作为 ln(1−x) 展开右边得到
12s+(12122s)+(13123s)+(14124s)+...
13s+(12132s)+(13133s)+(14134s)+...
15s+(12152s)+(13153s)+(14154s)+...
...
右边
∫∞0J(x)x−s−1dx 由于 J(x) 小于2为0，所以只需考虑2开始的积分，积分就是求这个函数与x轴之间的面积，计算方法是把这个面积分成一条条被压缩的横条，如果没有后面的 x−s−1 ，则是一条条横条，所有横条就是所有素数及其幂所在的地方，则面积对每个素数2、3、5…分开计算，等于
∫∞2dx+12∫∞22dx+13∫∞23dx+14∫∞24dx+...
∫∞3dx+12∫∞32dx+13∫∞33dx+14∫∞34dx+...
∫∞5dx+12∫∞52dx+13∫∞53dx+14∫∞54dx+...
...
压缩以后每个积分项中加上 x−s−1 即可：
∫∞2x−s−1dx+12∫∞22x−s−1dx+13∫∞23x−s−1dx+14∫∞24x−s−1dx+...
∫∞3x−s−1dx+12∫∞32x−s−1dx+13∫∞33x−s−1dx+14∫∞34x−s−1dx+...
∫∞5x−s−1dx+12∫∞52x−s−1dx+13∫∞53x−s−1dx+14∫∞54x−s−1dx+...
...
计算得到
1s12s+1s12122s+1s13123s
1s13s+1s12132s+1s13133s
1s15s+1s12152s+1s13153s
刚好等于左边除以s

第20章

黎曼算子就是一个这样的矩阵：它的本征值是 ζ 函数的零点。
本章讲了很多余黎曼猜想相关内容或证明途径，最有趣的的是15章的M函数，这个估计谁都能看懂，但是跟黎曼猜想等价则只有专业人士才能理解了。