线段树

树状数组可以说是线段树的分支；树状数组可以解决的问题线段树都可以解决，而线段树可以解决的问题树状数组却不一定可以解决；

一 定义

线段树是一种 二叉搜索树，与 区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

对于线段树中的每一个非 叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是 平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。 线段树需要的空间为数组大小的四倍。

使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数， 时间复杂度为O(logN）。而未优化的 空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。

二 基本结构

线段树是建立在 线段的基础上，每个结点都代表了一条线段[a,b]。长度为1的线段称为元线段。非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a,(a + b) / 2]，右结点代表的线段为[((a + b) / 2）+1,b]。

下图就是两棵长度范围为[1,5][1,10]的线段树。

长度范围为[1,L] 的一棵线段树的深度为log (L) + 1。这个显然，而且存储一棵线段树的空间复杂度为O(L）。

三 基本操作

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define lson l,m,x<<1
#define rson m+1,r,x<<1|1
using namespace std;
#define Size 200010
int tree[Size<<2];
void MAX(int x){
	tree[x]=max(tree[x<<1],tree[x<<1|1]);
}
void build(int l, int r, int x){
	if(l==r){ 。。 
	return;  }
	int m=(l+r)>>1;
	build(lson);
	build(rson);
}
int merage(int l,int r,int x){
	if(l==r){
		tree[x]-=wid;         
		return l;               
	}
	int m=(l+r)>>1,ret;
	if(tree[x<<1]>=wid)
	ret=merage(lson);
	else
	ret=merage(rson);
	MAX(x);                  
	return ret;              
}
int main()
{
	.
	.
	.
	.
	return 0;
}

大牛博客：

http://blog.csdn.net/metalseed/article/details/8039326

下面是hh线段树代码，典型练习哇~

在代码前先介绍一些我的线段树风格:

• maxn是题目给的最大区间,而节点数要开4倍,确切的来说节点数要开大于maxn的最小2^x的两倍
• lson和rson分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示
• 以前的写法是另外开两个个数组记录每个结点所表示的区间,其实这个区间不必保存,一边算一边传下去就行,只需要写函数的时候多两个参数,结合lson和rson的预定义可以很方便
• PushUP(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点
• PushDown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点
• rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

整理这些题目后我觉得线段树的题目整体上可以分成以下四个部分:

单点更新:最最基础的线段树,只更新叶子节点,然后把信息用PushUP(int r)这个函数更新上来

• hdu1166 敌兵布阵
  
• 题意:O(-1)
• 思路:O(-1)
  线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

code:

 #include<cstring>
 #include<iostream>

 #define M 50005
 #define lson l,m,rt<<1
 #define rson m+1,r,rt<<1|1
 /*left,right,root,middle*/

 int sum[M<<2];

 inline void PushPlus(int rt)
 {
     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
 }

 void Build(int l, int r, int rt)
 {
     if(l == r)
     {
         scanf("%d", &sum[rt]);
         return ;
     }
     int m = ( l + r )>>1;

     Build(lson);
     Build(rson);
     PushPlus(rt);
 }

 void Updata(int p, int add, int l, int r, int rt)
 {

     if( l == r )
     {
         sum[rt] += add;
         return ;
     }
     int m = ( l + r ) >> 1;
     if(p <= m)
         Updata(p, add, lson);
     else
         Updata(p, add, rson);

     PushPlus(rt);
 }

 int Query(int L,int R,int l,int r,int rt)
 {
     if( L <= l && r <= R )
     {
         return sum[rt];
     }
     int m = ( l + r ) >> 1;
     int ans=0;
     if(L<=m )
         ans+=Query(L,R,lson);
     if(R>m)
         ans+=Query(L,R,rson);

     return ans;
 }
 int main()
 {
     int T, n, a, b;
     scanf("%d",&T);
     for( int i = 1; i <= T; ++i )
     {
         printf("Case %d:\n",i);
         scanf("%d",&n);
         Build(1,n,1);

         char op[10];

         while( scanf("%s",op) &&op[0]!='E' )
         {

             scanf("%d %d", &a, &b);
             if(op[0] == 'Q')
                 printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));
             else if(op[0] == 'S')
                 Updata(a,-b,1,n,1);
             else
                 Updata(a,b,1,n,1);

         }
     }
     return 0;
 }

部分为粘贴而来；