BZOJ 4174 tty的求助 莫比乌斯反演

题目大意:求 Nn=1Mm=1m1k=0nk+xm mod 998244353

假设 n m 都已经确定了,现在要求这坨玩应:
m1k=0nk+xm
=m1k=0(nk%m+xm+nknk%mm)
=m1k=0(nk%m+xm+nkmnk%mm)

我们一项一项考虑

d=gcd(n,m) ,那么有

m1k=0nk%m+xm
=dmd1k=0kd+xm
=d(mdxx%mm+md1k=0kd+x%mm)
=d(mdxx%mm+md1k=0[kd+x%mm])
=d(xx%md+x%md)
=dxd

m1k=0nkm=nmm(m1)2=nmn2

m1k=0nk%mm=dmd1k=0kdm=d2m(md1)md2=md2

故答案为
Nn=1Mm=1(dxd+nmn2md2)
=12Nn=1Mm=1(2dxd+d+nmnm)
=12(S(N)S(M)S(N)mS(M)n+min(N,M)d=1(d+2dxd)min(Nd,Md)k=1μ(k)NdkMdk)

其中 S(n)=n(n+1)2

然后 O(nlogn) 枚举 d k 即可

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 500500
#define MOD 998244353
using namespace std;
int n,m,x;
long long ans;
int mu[M];
int prime[M],tot;
bool not_prime[M];
void Linear_Shaker()
{
    int i,j;
    mu[1]=1;
    for(i=2;i<=500000;i++)
    {
        if(!not_prime[i])
        {
            prime[++tot]=i;
            mu[i]=MOD-1;
        }
        for(j=1;prime[j]*i<=500000;j++)
        {
            not_prime[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[prime[j]*i]=0;
                break;
            }
            mu[prime[j]*i]=(MOD-mu[i])%MOD;
        }
    }
}
long long Sum(long long n)
{
    return (n*(n+1)>>1)%MOD;
}
int main()
{
    int i,j;
    cin>>n>>m>>x;
    Linear_Shaker();
    ans=((Sum(n)*Sum(m)-Sum(n)*m-Sum(m)*n)%MOD+MOD)%MOD;
    if(n>m) swap(n,m);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        long long temp=i+x/i*i*2;
        for(j=1;j*i<=n;j++)
            (ans+=temp*mu[j]%MOD*(n/i/j)%MOD*(m/i/j)%MOD)%=MOD;
    }
    cout<<(ans*(MOD+1>>1)%MOD)<<endl;
    return 0;
}

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