经典的裴波拉契数列与尾递归实现

对于经典的裴波拉契数列：f(n) = f(n-1)+f(n-2), f(0) = 0, f(1) = 1.(抱歉现在markdown里面插入latex公式还不会，后面再补咯)。

• 直接用递归实现，可以发现，当求f(n-1)时，需要从f(2)到f(n-2)的每一项值，求f(n-2)时需要f(2)到f(n-3)的每一项值，这中间包含了很多的重复，算法复杂度用树来分析，基本是一个满二叉树的节点数目，即O(2^n)。
  如何简化算法复杂度的问题，可以用长度为N的数组存储计算过的值，采用从2到N递推计算的方式，这种方法空间复杂度为O(N), 时间复杂度为O(N).采用求解系数矩阵，直接将[f(n) f(n-1)] 与[f(1) f(0)]联系起来，这样只要求矩阵方幂，并对N进行二进制分解，可将时间复杂度将至O(logN)。

• 我们对递归方法进行一下优化，可以实现O(N)的时间复杂度，方法就是转化为尾递归：

int fibonacci(int n, int a, int b){
    if(n == 0) return b;
    else {
        return fibonacci(n-1, b, a + b);
    }
}

fibonacci(5, 0, 1);//example

这里实际上是将原来用两项f(n) 和 f(n-1)计算的结果放到了一个局部变量a+b中，并且由于该递归为尾递归，即递归部分是最后一步，可以实现原地递归：尾递归优化，不需要对先前的递归调用保留栈帧。这样就可以实现常数空间复杂度。

• 尾递归来自于更加普通的尾调用：即对某函数的当前函数的最后一步，因此我们可以不用保存当前函数的局部变量，直接进入被调用的函数，因此实现尾调用优化，当函数在最后一步递归调用自身时，就是尾递归。