[网络流24题]魔术球问题 贪心||枚举答案+最小路径覆盖

问题描述：

假设有n根柱子，现要按下述规则在这n根柱子中依次放入编号为 1，2，3，4……的球。
（1）每次只能在某根柱子的最上面放球。
（2）在同一根柱子中，任何2个相邻球的编号之和为完全平方数。
试设计一个算法，计算出在n根柱子上最多能放多少个球。例如，在4 根柱子上最多可
放11个球。

´编程任务：

对于给定的n，计算在 n根柱子上最多能放多少个球。

´数据输入：

文件第1 行有 1个正整数n，表示柱子数。

´结果输出:

文件的第一行是球数。

数据规模

n<=60 保证答案小于1600

输入文件示例

4

输出文件示例

11
1 8 
2 7 9 
3 6 10 
4 5 11

贪心好简单…

尽量选少的柱子，实在不行了再放新柱子上…

网络流：

枚举答案A，在图中建立节点1..A。如果对于 i<j 有 i+j 为一个完全平方数，连接一条有向边(i,j)。该图是有向无环图，求最小路径覆盖。如果刚好满足最小路径覆盖数等于N，那么A是一个可行解，在所有可行解中找到最大的A，即为最优解。

具体方法可以顺序枚举A的值，当最小路径覆盖数刚好大于N时终止，A-1就是最优解。

简直神，然而为什么不贪心呢……

网络流：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

const int INF = 1000000010;
const int SZ = 1000010;

int head[SZ],nxt[SZ],tot = 1,n;

struct edge{
    int t,d;
}l[SZ];

void build(int f,int t,int d)
{
    l[++ tot].t = t;
    l[tot].d = d;
    nxt[tot] = head[f];
    head[f] = tot;
}

void insert(int f,int t,int d)
{
    build(f,t,d); build(t,f,0);
}

int deep[SZ];
queue<int> q;

bool bfs(int s,int e)
{
    memset(deep,0,sizeof(deep));
    deep[s] = 1;
    while(q.size()) q.pop();
    q.push(s);
    while(q.size())
    {
        int u = q.front(); q.pop();
        for(int i = head[u];i;i = nxt[i])
        {
            int v = l[i].t;
            if(!deep[v] && l[i].d)
            {
                deep[v] = deep[u] + 1;
                q.push(v);
                if(v == e) return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int dfs(int u,int flow,int e)
{
    if(u == e || flow == 0) return flow;
    int rest = flow;
    for(int i = head[u];i;i = nxt[i])
    {
        int v = l[i].t;
        if(deep[v] == deep[u] + 1 && l[i].d)
        {
            int f = dfs(v,min(rest,l[i].d),e);
            if(f > 0)
            {
                l[i].d -= f;
                l[i ^ 1].d += f;
                rest -= f;
                if(rest == 0) break;
            }
            else deep[v] = 0;
        }
    }
    return flow - rest;
}


int dinic(int s,int e)
{
    int ans = 0;
    while(bfs(s,e)) ans += dfs(s,INF,e);
    return ans;
}

void init()
{
    tot = 1;
    memset(head,0,sizeof(head));
}

const int CD = 5000;

int s = 50000,e = 50001;

int check(int now,int &ans)
{
    for(int i = 1;i < now;i ++)
        {
            int x = i + now;
            int y = sqrt(x);
            if(x == y * y) insert(i,CD + now,1);
        }
    insert(s,now,1);
    insert(now + CD,e,1);
    ans += dinic(s,e);
    return now - ans;
}

bool vis[SZ];

int ans = 0;

bool dfs(int u)
{
    if(u > CD) u -= CD;
// if(vis[u]) return true;
// vis[u] = 1;
    printf("%d ",u);
    bool flag = 0;
    for(int i = head[u];i;i = nxt[i])
    {
        int v = l[i].t;
        if(!vis[v] && v > CD && v <= CD * 2)
        {
            flag = 1;
            vis[v] = 1;
            if(dfs(v))  return true;
        }
    }
    if(flag) return false;
    return true;
}

void final(int now)
{
    init();
    for(int i = 1;i <= now;i ++)
        for(int j = i + 1;j <= now;j ++)
        {
            int x = i + j;
            int y = sqrt(x);
            if(x == y * y) insert(i,j + CD,1);
        }
    for(int i = 1;i <= now;i ++)
        insert(s,i,1);
    for(int i = 1;i <= now;i ++)
        insert(CD + i,e,1);
    dinic(s,e); 
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int maxflow = 0;
    for(ans = 1;;ans ++)
        if(check(ans,maxflow) > n) break;
    ans --;

    final(ans);
    printf("%d\n",ans);

    for(int i = 1;i <= ans;i ++)
        if(!vis[i + CD] && dfs(i)) puts("");

    return 0;
}

贪心：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;

const int SZ = 100010;

vector<int> g[SZ];

bool check(int x)
{
    int y = sqrt(x);
    return y * y == x;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int now = 1,num = 2;
    g[1].push_back(1);
    while(233)
    {
        bool flag = 0;
        if(g[now].size() == 0) g[now].push_back(num ++);
        for(int i = 1;i <= now;i ++)
        {
            if((check(g[i].back() + num)))
            {
                flag = 1;
                g[i].push_back(num ++);
                break;
            }
        }
        if(!flag)
        {
            if(now < n) now ++;
            else break;
        }
    }
    printf("%d\n",num - 1);
    for(int i = 1;i <= n;i ++,puts(""))
        for(int j = 0;j < g[i].size();j ++)
            printf("%d ",g[i][j]);
    return 0;
}