zoj3868GCD Expectation

链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3868

题意：每次给定一组n，k，接下来有n个整数，求这n个整数形成的任意集合的gcd的k次方之和。

分析：n是10^5，集合个数是2^n-1个，这样太暴力了。但是我们观察到a[i]<=10^5，并且sum(a)<=2*10^6。这样就能知道所有gcd都在10^5以内，所以我们直接计算每一个gcd为i的集合的个数即可，怎么计算呢？如果i的倍数有x个那么显然gcd为i的集合最多为2^x-1个，为什么最多呢，因为gcd还可能是i的倍数。所以我们在计算gcd为i的集合数是我们还有将i的倍数的集合数减去，并且我们要从max到1计算所有gcd。最后复杂度为O(nlnn+nlogk)。

代码：

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<math.h>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
using namespace std;
const int N=1000010;
const int MAX=151;
const long long MOD=998244353;
const int MOD1=100000007;
const int MOD2=100000009;
const int INF=2100000000;
const double EPS=0.00000001;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long uI64;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int a[N],e[N],f[N],dp[N],num[N];
ll ks(ll x,ll y) {
    ll ret=1;
    while (y) {
        if (y&1) ret=(ret*x)%MOD;
        x=(x*x)%MOD;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    int i,n,g,j,k,t,mx,ans;
    scanf("%d", &t);e[0]=1;
    for (i=1;i<N;i++) e[i]=(e[i-1]*2)%MOD;
    while (t--) {
        scanf("%d%d", &n, &k);
        ans=mx=0;
        memset(f,0,sizeof(f));
        memset(num,0,sizeof(num));
        for (i=1;i<=n;i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
            mx=max(mx,a[i]);num[a[i]]++;
        }
        for (i=mx;i>=1;i--) {
            g=num[i];
            for (j=i+i;j<=mx;j+=i) g+=num[j];
            dp[i]=e[g]-1;
            for (j=i+i;j<=mx;j+=i) dp[i]=(dp[i]-dp[j])%MOD;
            ans=(ans+((ll)dp[i]*ks(i,k))%MOD)%MOD;
        }
        printf("%d\n", (ans+MOD)%MOD);
    }
    return 0;
}

/*
10
5 1
1 2 3 4 5
5 1
5 4 3 2 1
*/