最大熵模型
胡江堂，北京大学软件学院
1. 物理学的熵
2. 信息论的熵
3. 熵和主观概率（一个简单注释
4. 熵的性质
4.1. 当所有概率相等时，熵取得最大值
4.2. 小概率事件发生时携带的信息量比大概率事件发生时携带的信息量多
5. 最大熵原理：直觉讨论
6. 最大熵原理：一个手工例子
7. 最大熵原理：正式表述
8. 最大熵模型的训练：GIS算法
参考文献
这篇读书笔记主要写了对熵的理解、对最大熵原则的理解，还有一个手工计算的例子。在处理一般化的最大熵模型时，我采用了我偏爱的连续随机变量形式，而不是一般有助于计算机理解的离散形式。连续而非离散的处理方式的一个好处就是，它能非常方便地推出最大熵模型的解是一个指数形式。如果使用离散形式，一样的结论，那符号就看着复杂多了。
所有的东西都来自篇末的参考资料。
1. 物理学的熵
熵是一个物理学概念，它是描述事物无序性的参数，熵越大则无序性越强。从宏观方面讲（根据热力学定律），一个体系的熵等于其可逆过程吸收或耗散的热量除以它的绝对温度；从微观讲，熵是大量微观粒子的位置和速度的分布概率的函数。自然界的一个基本规律就是熵递增原理，即，一个孤立系统的熵，自发性地趋于极大，随着熵的增加，有序状态逐步变为混沌状态，不可能自发地产生新的有序结构，这意味着自然界越变越无序。
2. 信息论的熵
在物理学中，熵是描述客观事物无序性的参数。信息论的开创者香农认为，信息（知识）是人们对事物了解的不确定性的消除或减少。他把不确定的程度称为信息熵。假设每种可能的状态都有概率，我们用关于被占据状态的未知信息来量化不确定性，这个信息熵即为：
其中是以2为底的对数，所以这个信息用位衡量。前面说过，在物理学的背景下，这个不确定性被称为熵（在通讯系统中，关于传输的实际信息的不确定性也被称为数据源的熵）。
扩展到连续情形。假设连续变量的概率密度函数是，与离散随机变量的熵的定义类似，信息熵的连续定义为：
上式就是我们定义的随机变量的微分熵。当被解释为一个随机连续向量时，就是的联合概率密度函数。
3. 熵和主观概率（一个简单注释）
因为熵用概率表示，所以这涉及到主观概率。概率用于处理知识的缺乏（概率值为1表明对知识的完全掌握，这就不需要概率了），而一个人可能比另一个人有着更多的知识，所以两个观察者可能会使用不同的概率分布，也就是说，概率（以及所有基于概率的物理量）都是主观的。在现代的主流概率论教材中，都采用这种主观概率的处理方法。
4. 熵的性质
4.1. 当所有概率相等时，熵取得最大值
上面关于熵的公式有一个性质：假设可能状态的数量有限，当所有概率相等时，熵取得最大值。
在只有两个状态的例子中，要使熵最大，每个状态发生的概率都是1/2，如下图所示：
4.2. 小概率事件发生时携带的信息量比大概率事件发生时携带的信息量多
证明略，可以简要说明一下，也挺直观的。如果事件发生的概率为1，在这种情况下，事件发生就没有什么“惊奇”了，并且不传达任何“信息”，因为我们已经知道这“信息”是什么，没有任何的“不确定”；反之，如果事件发生的概率很小，这就有更大的“惊奇”和有“信息”了。这里，“不确定”、“惊奇”和“信息”是相关的，信息量与事件发生的概率成反比。
5. 最大熵原理：直觉讨论
最大熵原理是根据样本信息对某个未知分布做出推断的一种方法。日常生活中，很多事情的发生表现出一定的随机性，试验的结果往往是不确定的，而且也不知道这个随机现象所服从的概率分布，所有的只有一些试验样本或样本特征，统计学常常关心的一个问题，在这种情况下如何对分布作出一个合理的推断？最大熵采取的原则就是：保留全部的不确定性，将风险降到最小。在金融理论中，一个类似的教训是，为了降低风险，投资应该多样化，不要把所有的鸡蛋都放在一个篮子里。
吴军（2006）举了一个例子。对一个均匀的骰子，问它每个面朝上的概率分别是多少。所有人都会说是1/6。这种“猜测”当然是对的，因为对这个“一无所知”的色子，假定它每一个朝上概率均等是最安全的做法，你不应该假设它被做了手脚。从信息论的角度讲，就是保留了最大的不确定性，让熵达到最大（从投资的角度来看，这就是风险最小的做法）。但是，如果这个骰子被灌过铅，已知四点朝上的概率是1/3，在这种情况下，每个面朝上的概率是多少？当然，根据简单的条件概率计算，除去四点的概率是 1/3外，其余的概率都是 2/15。也就是说，除已知的条件（四点概率为 1/3）必须满足外，对其它各点的概率，我们仍然无从知道，也只好认为它们相等。这种基于直觉的猜测之所以准确，是因为它恰好符合了最大熵原理。
回到物理学例子中。在涉及物理系统的情形中，一般要确定该系统可以存在的多种状态，需要了解约束下的所有参数。比如能量、电荷和其他与每个状态相关的物理量都假设为已知。为了完成这个任务常常需要量子力学。我们不假设在这个步骤系统处于特定状态；事实上我们假定我们不知道也不可能知道这一点，所以我们反而可以处理被占据的每个状态的概率。这样把概率当作应对知识缺乏的一种方法。我们很自然地想避免假定了比我们实际有的更多的知识，最大熵原理就是完成这个的方法。
这里可以总结出最大熵对待已知事物和未知事物的原则：承认已知事物（知识）；对未知事物不做任何假设，没有任何偏见。最大熵原理指出，当我们需要对一个随机事件的概率分布进行预测时，我们的预测应当满足全部已知的条件，而对未知的情况不要做任何主观假设（不做主观假设，这点很重要。）在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小。因为这时概率分布的信息熵最大，所以人们称这种模型叫“最大熵模型”。我们常说，不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里，其实就是最大熵原理的一个朴素的说法，因为当我们遇到不确定性时，就要保留各种可能性。
6. 最大熵原理：一个手工例子
[省略一个例子]以上，我们根据未知的概率分布表示了约束条件，又用这些约束条件消去了两个变量，用剩下的变量表示熵，最后求出了熵最大时剩余变量的值，结果就求出了一个符合约束条件的概率分布，它有最大不确定性，我们在概率估计中没有引入任何偏差。
7. 最大熵原理：正式表述
假设有一个随机系统，已知一组状态，但不知道其概率，而且我们知道这些状态的概率分布的一些限制条件。这些限制条件或者是已知一定的总体平均值，或者是它们的一些界限。在给定关于模型的先验知识的条件下，问题是选择一个在某种意义下最佳的概率模型。Jaynes(1957)提出了一个最大熵原则：当根据不完整的信息作为依据进行推断时，应该由满足分布限制条件的具有最大熵的概率分布推得。也就是说，熵的概念在概率分布空间定义一种度量，使得具有较高熵的分布比其它的分布具有更大的值。显然，“最大熵问题”是一个带约束的最优化问题。
为方便叙述，考虑最大微分熵
对所有随机变量的概率密度函数，满足以下约束条件：
其中，是的一个函数。约束1和约束2描述的是概率密度函数的基本属性，约束3定义变量的矩，它随函数的表达式不同而发生变化，它综合了随机变量的所有可用的先验知识。为了解这个约束最优化问题，利用拉格朗日乘子法，目标函数为：
其中， 是拉格朗日乘子。对被积函数求的微分，并令其为0，有：
解得：
我们看到这个概率密度函数具有指数形式。匈牙利数学家Csiszar曾经证明，对任何一组不自相矛盾的信息，最大熵模型不仅存在，而且是唯一的。而且它们都有同一个非常简单的形式 -- 指数函数。我们还可以得到，在所有零均值随机向量可达到的微分熵中，多元正态分布具有最大的微分熵。最大熵的解，同时是最吻合样本数据分布的解。
8. 最大熵模型的训练：GIS算法和其他
上节我们得到，一个最大熵模型可以有效地把各种信息综合在一起（无偏见地对待不确定性），而且具有指数函数的形式，下面模型的训练就要确定这个指数函数的各个参数。最原始的最大熵模型的训练方法是一种称为通用迭代算法 GIS(generalized iterative scaling) 的迭代算法，由 Darroch 和 Ratcliff 在七十年代提出，大致可以概括为以下几个步骤：
1. 假定第零次迭代的初始模型为等概率的均匀分布。
2. 用第 N 次迭代的模型来估算每种信息特征在训练数据中的分布，如果超过了实际 的，就把相应的模型参数变小；否则，将它们便大。
3. 重复步骤 2 直到收敛。
Darroch 和 Ratcliff没有能对这种算法的物理含义进行很好地解释，后来是由Csiszar解释清楚的，因此，人们在谈到这个算法 时，总是同时引用 Darroch 和Ratcliff 以及希萨的两篇论文。GIS 算法每次迭代的时间都很长，需要迭代很多次才能收敛，而且不太稳定，即使在 64 位计算机上都会出现溢出。因此，在实际应用中很少有人真正使用，大家只是通过它来了解最大熵模型的算法。
八十年代，Della Pietra在IBM对GIS算法进行了两方面的改进，提出了改进迭代算法IIS（improved iterative scaling）。这使得最大熵模型的训练时间缩短了一到两个数量级。这样最大熵模型才有可能变得实用。即使如此，在当时也只有 IBM 有条件是用最大熵模型。
由于最大熵模型在数学上十分完美，对科学家们有很大的诱惑力，因此不少研究者试图把自己的问题用一个类似最大熵的近似模型去套。谁知这一近似，最大熵模型就变得不完美了，结果可想而知，比打补丁的凑合的方法也好不了多少。于是，不少热心人又放弃了这种方法。第一个在实际信息处理应用中验证了最大熵模型的优势的，是原IBM现微软的研究员Adwait Ratnaparkhi。Ratnaparkhi的聪明之处在于他没有对最大熵模型进行近似，而是找到了几个最适合用最大熵模型、而计算量相对不太大的自然语言处理问 题，比如词性标注和句法分析。拉纳帕提成功地将上下文信息、词性（名词、动词和形容词等）、句子成分（主谓宾）通过最大熵模型结合起来，做出了当时世界上 最好的词性标识系统和句法分析器。
参考文献