[置顶] 莫队算法详解

转载自：http://blog.csdn.net/hnshhslsh/article/details/50582926

莫队算法详解

本文翻译自MO’s Algorithm (Query square root decomposition)，作者anudeep2011，发表日期为2014-12-28。由于最近碰到一些莫队算法的题目，找到的相关中文资料都比较简略，而这篇英语文章则讲解的比较详细，故翻译成中文与大家分享。由于本人水平有限，错误在所难免，请谅解。下面是译文。

我又发现了一个有用，有趣但网上资源非常少的话题。在写作之前，我做了一个小调查，令我惊讶的是，几乎所有的印度程序员都不知道该算法。学习这个很重要，事实上所有的codeforces红名程序员都使用这个算法，比如在div 1 C题和D题中。在一年半以前没有这方面的题目，但从那时起这类题目的数量就爆发了！我们可以期待这在未来的比赛中会有更多的这类题目。

问题描述

给定一个大小为N的数组，数组中所有元素的大小<=N。你需要回答M个查询。每个查询的形式是L，R。你需要回答在范围[ L，R ]中至少重复3次的数字的个数。 
例如：数组为{ 1，2，3，1，1，2，1，2，3，1 }（索引从0开始） 
查询：L = 0，R = 4。答案= 1。在范围[L，R]中的值 = { 1，2，3，1，1 }，只有1是至少重复3次的。 
查询：L = 1， R = 8。答案= 2。在范围[L，R]中的值 = { 2，3，1，1，2，1，2，3 }， 1重复3遍并且2重复3次。至少重复3次的元素数目=答案= 2。

复杂度 O(N2) 的简单的解法

对于每一个查询，从L至R循环，统计元素出现频率，报告答案。考虑M = N的情况，以下程序在最坏的情况运行在 O（n2）

<code class="hljs vbscript has-numbering" style="display: block; padding: 0px; color: inherit; box-sizing: border-box; font-family: 'Source Code Pro', monospace;font-size:undefined; white-space: pre; border-radius: 0px; word-wrap: normal; background: transparent;"><span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">for</span> <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">each</span> query:
  answer = <span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 102, 102); box-sizing: border-box;">0</span>
  count[] = <span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 102, 102); box-sizing: border-box;">0</span>
  <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">for</span> i <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">in</span> {l..r}:
    count[<span class="hljs-built_in" style="color: rgb(102, 0, 102); box-sizing: border-box;">array</span>[i]]++
    <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">if</span> count[<span class="hljs-built_in" style="color: rgb(102, 0, 102); box-sizing: border-box;">array</span>[i]] == <span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 102, 102); box-sizing: border-box;">3</span>:
      answer++</code><ul class="pre-numbering" style="box-sizing: border-box; position: absolute; width: 50px; top: 0px; left: 0px; margin: 0px; padding: 6px 0px 40px; border-right-width: 1px; border-right-style: solid; border-right-color: rgb(221, 221, 221); list-style: none; text-align: right; background-color: rgb(238, 238, 238);"><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">1</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">2</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">3</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">4</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">5</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">6</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">7</li></ul><ul class="pre-numbering" style="box-sizing: border-box; position: absolute; width: 50px; top: 0px; left: 0px; margin: 0px; padding: 6px 0px 40px; border-right-width: 1px; border-right-style: solid; border-right-color: rgb(221, 221, 221); list-style: none; text-align: right; background-color: rgb(238, 238, 238);"><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">1</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">2</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">3</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">4</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">5</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">6</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">7</li></ul>

对上述算法稍作修改。它仍然运行在 O（n2）

<code class="hljs oxygene has-numbering" style="display: block; padding: 0px; color: inherit; box-sizing: border-box; font-family: 'Source Code Pro', monospace;font-size:undefined; white-space: pre; border-radius: 0px; word-wrap: normal; background: transparent;"><span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">add</span>(position):
  count[<span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">array</span>[position]]++
  <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">if</span> count[<span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">array</span>[position]] == <span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 102, 102); box-sizing: border-box;">3</span>:
    answer++

<span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">remove</span>(position):
  count[<span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">array</span>[position]]--
  <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">if</span> count[<span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">array</span>[position]] == <span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 102, 102); box-sizing: border-box;">2</span>:
    answer--

currentL = <span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 102, 102); box-sizing: border-box;">0</span>
currentR = <span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 102, 102); box-sizing: border-box;">0</span>
answer = <span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 102, 102); box-sizing: border-box;">0</span>
count[] = <span class="hljs-number" style="color: rgb(0, 102, 102); box-sizing: border-box;">0</span>
<span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">for</span> <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">each</span> query:
  <span class="hljs-comment" style="color: rgb(136, 0, 0); box-sizing: border-box;">// currentL 应当到 L, currentR 应当到 R</span>
  <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">while</span> currentL < L:
    <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">remove</span>(currentL)
    currentL++
  <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">while</span> currentL > L:
    <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">add</span>(currentL)
    currentL--
  <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">while</span> currentR < R:
    <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">add</span>(currentR)
    currentR++
  <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">while</span> currentR > R:
    <span class="hljs-keyword" style="color: rgb(0, 0, 136); box-sizing: border-box;">remove</span>(currentR)
    currentR--
  output answer</code><ul class="pre-numbering" style="box-sizing: border-box; position: absolute; width: 50px; top: 0px; left: 0px; margin: 0px; padding: 6px 0px 40px; border-right-width: 1px; border-right-style: solid; border-right-color: rgb(221, 221, 221); list-style: none; text-align: right; background-color: rgb(238, 238, 238);"><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">1</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">2</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">3</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">4</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">5</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">6</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">7</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">8</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">9</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">10</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">11</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">12</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">13</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">14</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">15</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">16</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">17</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">18</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">19</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">20</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">21</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">22</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">23</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">24</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">25</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">26</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">27</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">28</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">29</li></ul><ul class="pre-numbering" style="box-sizing: border-box; position: absolute; width: 50px; top: 0px; left: 0px; margin: 0px; padding: 6px 0px 40px; border-right-width: 1px; border-right-style: solid; border-right-color: rgb(221, 221, 221); list-style: none; text-align: right; background-color: rgb(238, 238, 238);"><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">1</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">2</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">3</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">4</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">5</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">6</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">7</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">8</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">9</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">10</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">11</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">12</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">13</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">14</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">15</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">16</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">17</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">18</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">19</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">20</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">21</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">22</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">23</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">24</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">25</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">26</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">27</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">28</li><li style="box-sizing: border-box; padding: 0px 5px;">29</li></ul>

最初我们总是从L至R循环，但现在我们从上一次查询的位置调整到当前的查询的位置。 
如果上一次的查询是L = 3，R = 10，则我们在查询结束时有currentL=3、currentR=10。如果下一个查询是L = 5，R = 7，则我们将currentL 移动到5，currentR 移动到7。 
add 函数 意味着我们添加该位置的元素到当前集合内，并且更新相应的回答。 
remove 函数 意味着我们从当前集合内移除该位置的元素，并且更新相应的回答。

一个解决上述问题的算法及其正确性

莫队算法仅仅调整我们处理查询的顺序。我们得到了M个查询，我们将把查询以一个特定的顺序进行重新排序，然后处理它们。显然，这是一个离线算法。每个查询都有L和R，我们称呼其为“起点”和“终点”。让我们将给定的输入数组分为 N−−√ 块。每一块的大小为  N/N−−√=N−−√ 。每个“起点”落入其中的一块。每个“终点”也落入其中的一块。

如果某查询的“起点”落在第p块中，则该查询属于第p块。该算法将处理第1块中的查询，然后处理第2块中的查询，等等，最后直到第 N−−√ 块。我们已经有一个顺序、查询按照所在的块升序排列。可以有很多的查询属于同一块。

从现在开始，我会忽略（其它，译者注，所有括号内斜体同）所有的块，只关注我们如何询问和回答第1块。我们将对所有块做同样的事。（第1块中的）所有查询的“起点”属于第1块，但“终点”可以在包括第1块在内的任何块中。现在让我们按照R值升序的顺序重新排列这些查询。我们也在所有的块中做这个操作。（指每个块块内按R升序排列。）

最终的排序是怎样的？ 
所有的询问首先按照所在块的编号升序排列（所在块的编号是指询问的“起点”属于的块）。如果编号相同，则按R值升序排列。 
例如考虑如下的询问，假设我们会有3个大小为3的块（0-2,3-5,6-8）： 
{0, 3} {1, 7} {2, 8} {7, 8} {4, 8} {4, 4} {1, 2} 
让我们先根据所在块的编号重新排列它们 
{0, 3} {1, 7} {2, 8} {1, 2} （|）{4, 8} {4, 4}（|） {7, 8} 
现在我们按照R的值重新排列 
{1, 2} {0, 3} {1, 7} {2, 8}（|） {4, 4} {4, 8}（|） {7, 8} 
现在我们使用与上一节所述相同的代码来解决这个问题。上述算法是正确，因为我们没有做任何改变，只是重新排列了查询的顺序。

对上述算法的复杂性证明 -  O(N−−√∗N)

我们完成了莫队算法，它只是一个重新排序。可怕的是它的运行时分析。原来，如果我们按照我上面指定的顺序，我们所写的 O（N2） 的代码运行在 O（N−−√×N） 时间复杂度上。可怕，这是正确的，仅仅是重新排序查询使我们把复杂度从 O（N2） 降低到 O（N−−√×N） ，而且也没有任何进一步的代码上的修改。好哇！我们将以 O（N−−√×N） 的复杂度AC。

看看我们上面的代码，所有查询的复杂性是由 4个while循环决定的。前2个while循环可以表述为“左指针(currentL)的移动总量”，后2个 while循环可以表述为“右指针(currentR)的移动总量”。这两者的和将是总复杂性。

最重要的。让我们先谈论右指针。对于每个块，查询是递增的顺序排序，所以右指针（currentR）按照递增的顺序移动。在下一个块的开始时，指针可能在extreme end （最右端？) ，将移动到下一个块中的最小的R处。这意味着对于一个给定的块，右指针移动的量是 O（N） 。我们有 O（N−−√） 块，所以总共是 O（N∗N−−√） 。太好了！

让我们看看左指针怎样移动。对于每个块，所有查询的左指针落在同一个块中，当我们从一个查询移动到另个一查询左指针会移动，但由于前一个L与当前的L在同一块中，此移动是 O（N−−√） （块大小）的。在每一块中左指针的移动总量是 O（Q∗N−−√） ，Q是落在那个块的查询的数量。对于所有的块，总的复杂度为 O（M∗N−−√） 。

就是这样，总复杂度为 O((N+M)∗N−−√)=O(N∗N−−√)

上述算法的适用范围

如前所述，该算法是离线的，这意味着当我们被强制按照特定的顺序查询时，我们不能再使用它。这也意味着当有更新操作时我们不能用这个算法。不仅如此，一个重要的可能的局限性：我们应该能够编写add 和remove函数。会有很多的情况下，add 是平凡的 （指复杂度 O(1) ？），但remove不是。这样的一个例子就是我们想要求区间内最大值。当我们添加的元素，我们可以跟踪最大值。但当我们删除元素则不是平凡的。不管怎样，在这种情况下，我们可以使用一个集合来添加元素，删除元素和报告 最小值（作者想说最大值？）。在这种情况下，添加和删除操作都是 O（logN） （导致了 O（N∗N−−√∗logN） 的算法）。

在许多情况下，我们可以使用此算法。在一些情况下，我们也可以使用其它的数据结构，如线段树，但对于一些问题使用莫队算法的是必须的。让我们在下一节中讨论几个问题。

习题和示例代码

DQUERY – SPOJ：区间内不同元素的数量=出现次数>=1的元素个数，所以跟以上讨论的问题是一样的。 
点击此处查看示例代码 
注意：该代码提交会超时，加上更快的输入输出(传说中的输入输出挂？) 就能AC。为了使代码整洁，去掉了快的输入输出。（评论中说将remove 和add 声明为inline内联函数就可以AC。） 
Powerful array – CF Div1 D: 这道题是必须用莫队算法的例子。我找不到任何其它解法。 CF Div1 D 意味着这是一道难题。看看用了莫队算法就多简单了。 你只需要修改上述代码中的add(), remove() 函数。 
GERALD07 – Codechef 
GERALD3 – Codechef 
Tree and Queries – CF Div1 D 
Powerful Array – CF Div1 D 
Jeff and Removing Periods – CF Div1 D 
Sherlock and Inversions – Codechef

（省略结束语）