求逆序数

转载:

树状数组,具体的说是 离散化+树状数组。这也是学习树状数组的第一题.

算法的大体流程就是:

1.先对输入的数组离散化,使得各个元素比较接近,而不是离散的,

2.接着,运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。

算法详细解释:

1.解释为什么要有离散的这么一个过程?

    刚开始以为999.999.999这么一个数字,对于int存储类型来说是足够了。

    还有只有500000个数字,何必要离散化呢?

    刚开始一直想不通,后来明白了,后面在运用树状数组操作的时候,

    用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的,

    不是单纯的建立在输入数组之上。

    比如输入一个9 1 0 5 4,那么C[i]树状数组的建立是在,

    下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

    现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的,

    所以如果用数组位存储的话,那么需要999999999的空间来存储输入的数据。

    这样是很浪费空间的,题目也是不允许的,所以这里想通过离散化操作,

    使得离散化的结果可以更加的密集。

2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作?

   离散化是一种常用的技巧,有时数据范围太大,可以用来放缩到我们能处理的范围;

   因为其中需排序的数的范围0---999 999 999;显然数组不肯能这么大;

   而N的最大范围是500 000;故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射;

   ①当然用map可以建立,效率可能低点;

   ②这里用一个结构体

   struct Node

   {

      int v,ord;

   }p[510000];和一个数组a[510000];

   其中v就是原输入的值,ord是下标;然后对结构体按v从小到大排序;

   此时,v和结构体的下标就是一个一一对应关系,而且满足原来的大小关系;

   for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].ord]=i;

   然后a数组就存储了原来所有的大小信息;

   比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3;

   具体的过程可以自己用笔写写就好了。

3. 离散之后,怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作,计算出逆序数?

    如果数据不是很大, 可以一个个插入到树状数组中,

    每插入一个数, 统计比他小的数的个数,

    对应的逆序为 i- getsum( aa[i] ),

    其中 i 为当前已经插入的数的个数,

    getsum( aa[i] )为比 aa[i] 小的数的个数,

    i- sum( aa[i] ) 即比 aa[i] 大的个数, 即逆序的个数

    但如果数据比较大,就必须采用离散化方法

    假设输入的数组是9 1 0 5 4, 离散后的结果aa[] = {5,2,1,4,3};

在离散结果中间结果的基础上,那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。

1,输入5,   调用upDate(5, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

0 0 0 0 1

计算1-5上比5小的数字存在么? 这里用到了树状数组的getSum(5) = 1操作,

现在用输入的下标1 - getSum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。

2. 输入2, 调用upDate(2, 1),把第2位设置为1

1 2 3 4 5

0 1 0 0 1

计算1-2上比2小的数字存在么? 这里用到了树状数组的getSum(2) = 1操作,

现在用输入的下标2 - getSum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。

3. 输入1, 调用upDate(1, 1),把第1位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 0 1

计算1-1上比1小的数字存在么? 这里用到了树状数组的getSum(1) = 1操作,

现在用输入的下标 3 - getSum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。

4. 输入4, 调用upDate(4, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 1 1

计算1-4上比4小的数字存在么? 这里用到了树状数组的getSum(4) = 3操作,

现在用输入的下标4 - getSum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。

5. 输入3, 调用upDate(3, 1),把第3位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

计算1-3上比3小的数字存在么? 这里用到了树状数组的getSum(3) = 3操作,

现在用输入的下标5 - getSum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。

6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数

分析一下时间复杂度,首先用到快速排序,时间复杂度为O(NlogN),

后面是循环插入每一个数字,每次插入一个数字,分别调用一次upData()和getSum()

外循环N, upData()和getSum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN).

最后总的还是O(NlogN).


题目描述

在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

现在,给你一个N个元素的序列,请你判断出它的逆序数是多少。

比如 1 3 2 的逆序数就是1。

输入

第一行输入一个整数T表示测试数据的组数(1<=T<=5)
每组测试数据的每一行是一个整数N表示数列中共有N个元素(2〈=N〈=1000000)
随后的一行共有N个整数Ai(0<=Ai<1000000000),表示数列中的所有元素。

数据保证在多组测试数据中,多于10万个数的测试数据最多只有一组。

输出

输出该数列的逆序数

样例输入

2
2
1 1
3
1 3 2

样例输出

0
1

  

归并排序

  直接计数法虽然简单直观,但是其时间复杂度是 O(n^2)。一个更快(但稍复杂)的计算方法是在归并排序的同时计算逆序数。下面这个 C++ 编写的例子演示了计算方法。函数 mergeSort() 返回序列的逆序数。
  int is1[n],is2[n];// is1为原数组,is2为临时数组,n为个人定义的长度
  long mergeSort(int a,int b)// 下标,例如数组int is[5],全部排序的调用为mergeSort(0,4)
  {
  if(a<b)
  {
  int mid=(a+b)/2;
  long count=0;
  count+=mergeSort(a,mid);
  count+=mergeSort(mid+1,b);
  count+=merge(a,mid,b);
   return count;
  }
   return 0;
  }
  long merge(int low,int mid,int high)
  {
  int i=low,j=mid+1,k=low;
  long count=0;
  while(i<=mid&&j<=high)
   if(is1[i]<=is1[j])// 此处为稳定排序的关键,不能用小于
  is2[k++]=is1[i++];
  else
  {
  is2[k++]=is1[j++];
  count+=j-k;// 每当后段的数组元素提前时,记录提前的距离
  }
  while(i<=mid)
  is2[k++]=is1[i++];
  while(j<=high)
  is2[k++]=is1[j++];
  for(i=low;i<=high;i++)// 写回原数组
  is1[i]=is2[i];
  return count;
  }


//树状数组

 
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1000005;
int n;
int aa[maxn],c[maxn];
struct node{
	int v,order;
}in[maxn];
int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}
void update(int t,int value){
	int i;
	for(i=t;i<=n;i+=lowbit(i)){
		c[i]+=value;
	}
}
int getsum(int x){
	int i;
	int temp=0;
	for(i=x;i>=1;i-=lowbit(i)){
		temp+=c[i];
	}
	return temp;
}
bool cmp(node s1,node s2)
{
    if(s1.v!=s2.v)
    return s1.v<s2.v;
    return s1.order<s2.order;//由于一组数据中有相同数据,故需稳定排序
}
int main(){
	int i,j,t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		for(i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&in[i].v);
			in[i].order=i;
		}
		sort(in+1,in+n+1,cmp);
		for(i=1;i<=n;i++) aa[in[i].order]=i;
		//树状数组求逆序数
		memset(c,0,sizeof(c));
		long long ans=0;
		for(i=1;i<=n;i++){
			update(aa[i],1);
			ans+=(i-getsum(aa[i]));
		} 
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}
 


 


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