catalan数的应用 变形 HDU1133

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1133

查看维基百科，对卡特兰数公式证明是这样的：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E5%85%B0%E6%95%B0

令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有个，下面考虑不满足要求的数目。

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而。证毕。

从以上证明启发，来得到HDU1133的公式：

懒得打字，在纸上列好草稿，发上来：

对最后结果化简后：

最后的公式为 :  ( C(m+n, n) - C(m+n, m+1) ) * m! * n! 化简即 (m+n)! * (m-n+1) / (m+1)

最后给出代码，大数处理方案的：

用到大数乘法（乘小的数）和除法（除小的数）：

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
#define MAX 100
#define BASE 10000
void multiply(int a[],int Max,int b)  //大数乘小数
{
    int i,array=0;
    for (i=Max-1; i>=0; i--)   
    {
        array+=b*a[i];
        a[i] = array%BASE;
        array /= BASE;   
    }
}

void divide(int a[], int Max, int b)  //大数除小数
{
    int i,div=0;
    for (i=0;i<Max; i++)   
    {
        div = div*BASE + a[i];
        a[i] = div / b;
        div %= b;
    }
}
int fact[205][MAX];
void setFact ()  //求出0-200的阶乘值 
{
     fact[0][MAX-1] = fact[1][MAX-1] = 1;
     for ( int i = 2; i <= 200; ++ i )
     {
           memcpy ( fact[i] , fact[i-1] , MAX * sizeof ( int ) );
           multiply ( fact[i] , MAX , i ); 
     } 
}
void outPut ( int ctl[MAX] )
{
     int i = 0;
     while ( i < MAX && ctl[i] == 0 )//去掉前面的为0的项 
     {
             i ++ ; 
     }
     printf ( "%d", ctl[i++] );             
     while ( i < MAX )   
     {
             printf ( "%04d", ctl[i++] );   
     } 
     putchar ( '\n' ); 
}
int res[MAX];
int main ()
{
     int M,N;
     int ca = 1;
     setFact();  //打表 
     while ( cin >> M >> N , M + N )
     {
             printf ( "Test #%d:\n",ca++ );
             if ( N > M )
             {
                  puts ( "0" );
                  continue; 
             }
             memcpy ( res , fact[M+N] , MAX * sizeof ( int ) ); //阶乘 ( m + n )!
             multiply ( res, MAX, M - N + 1 );    // ( m + n )! * ( m-n+1 )
             divide ( res, MAX, M + 1 );   // ( m + n )! * ( m-n+1 )  / ( m+ 1 )         
             outPut ( res );
     }
     return 0;
}