图算法 Dijkstra算法 赋权图的单源最短路径

Dijkstra是解决有向赋权图单源最短路径问题的算法，是贪心算法的典型代表。

1. 在每个阶段，Dijkstra算法选择一个顶点v，它在所有unknown顶点中具有最小的dv，同时算法声明从s到v的最短路径是known的。

2. 更新dw值，若dv + c(v,w)是一个改进的值时，我们就置dw = dv +  c(v,w)。

顶点Vertex的定义如下：

class Vertex{
	public List adj;//邻接表
	public boolean known; //是否已知
	public DistType dist; 
	public Vertex path;
}

Dijkstra算法之后，可以用下面方法打印路径

//递归打印开始点到v的路径
void printPath(Vertex v){
	if(v.path != null){
		printPath(v.path);
		System.out.print("to");
	}
	System.out.print(v);
}

Dijkstra算法的伪代码如下，意思是非常直观的：

void dijkstra(Vertex s){
	//初始化
	for each Vertex v{
		v.dist = INFINITY;
		v.known = false;
	}
	s.dist = 0;
	
	for(;;){
		Vertex v = smallest unknown distance vertex;//在未知顶点中选一个最小
		if(v == NOT_A_VERTEX)//说明已经没有未知顶点
			break;
		v.known = true;
		//更新相邻节点
		for each Vertex w adjacent to v
			if(!w.known)
				if(v.dist + cvw < w.dist){
					decrease(w.dist to v.dist + cvw);
					w.path = v;
				}
	}
}

可以做学问的地方在于选取位置顶点中最小距离顶点的算法。

如果顺序扫描的话，每一步讲花费O(|V|)，整个算法花费O(|V|^2)。

可以把unknown顶点放在一个优先队列里，每次执行一次deleteMin来找到最小距离顶点，在对相邻的顶点执行decreaseKey操作。这样可以得到O(|E|log|V|)的时间。