【BZOJ1266】【AHOI2006】上学路线route 最短路建图转最小割

题解：

首先那个裸的单源最短路过程就过了吧。

然后说转的最小割。

就是我们考虑到从源点到汇点有多条最短路，我们需要切断一些边，使得所有的最短路都被切断。

首先这是个很裸的模型，切断？最小割！

如果你想不到，那不妨这么想：

我们切断所有最短路，那么每条最短路都有一个路径，上面有若干条边，那么我们需要至少切断其中的一部分。

而所有的局部最短路都满足一个性质：

就是从源点到某点的最短路长度固定（这个很显然吧，都“最”短了）

那么我们让所有的最短路径都被切断，就会使得一些在最短路径之一的边被切断，切其它的边没用，

那么把整体问题转化到局部，切断某条最短路径，就需要切断源点和这条路径上的某点（在最短路图上）

这就显然是一个最小割了。

而建图就是跑一遍spfa，然后看哪些边在某条最短路径上，把它加到网络图中。

然后跑一遍最大流（最小割）出解。

判断边是否在最短路径上：

u <--(len)-->  v

dist[u]+len==dist[v]或dist[v]+len==dist[u]即可。

这个可以参照上面的“就是从源点到某点的最短路长度固定（这个很显然吧，都“最”短了）”这个思想。

代码：（一个水题写了这么长时间的题解……。比敲代码的时间都长了，我是怎么想的……）

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 505
#define M 250000
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct YYC
{
	int u,v,len,cost,next;
}e[M],road[M>>1];
int head[N],cnt;
inline void add(int u,int v,int len)
{
	e[++cnt].v=v;
	e[cnt].len=len;
	e[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
}
int dist[N];
bool in[N];
queue<int>q;
void spfa(int s)
{
	while(!q.empty())q.pop();
	memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
	int i,u,v;
	q.push(s),dist[s]=0,in[s]=1;
	while(!q.empty())
	{
		u=q.front(),q.pop(),in[u]=0;
		for(i=head[u];i;i=e[i].next)
		{
			v=e[i].v;
			if(dist[v]>dist[u]+e[i].len)
			{
				dist[v]=dist[u]+e[i].len;
				if(!in[v])q.push(v),in[v]=1;
			}
		}
	}
	return ;
}
int s,t,d[N];
bool bfs()
{
	memset(d,0,sizeof(d));
	while(!q.empty())q.pop();
	int i,u,v;
	q.push(s);
	d[s]=1;
	while(!q.empty())
	{
		u=q.front(),q.pop();
		for(i=head[u];i;i=e[i].next)
		{
			v=e[i].v;
			if(!d[v]&&e[i].len)
			{
				d[v]=d[u]+1;
				if(v==t)return 1;
				q.push(v);
			}
		}
	}
	return 0;
}
int dinic(int x,int flow)
{
	if(x==t)return flow;
	int i,v,remain=flow,k;
	for(i=head[x];i&&remain;i=e[i].next)
	{
		if(d[v=e[i].v]==d[x]+1&&e[i].len)
		{
			k=dinic(v,min(remain,e[i].len));
			if(!k)d[v]=0;
			e[i].len-=k,e[i^1].len+=k;
			remain-=k;
		}
	}
	return flow-remain;
}
int n,m;
int main()
{
//	freopen("test.in","r",stdin);
	int i,j,k;
	int a,b,c,d;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&road[i].u,&road[i].v,&road[i].len,&road[i].cost);
		add(road[i].u,road[i].v,road[i].len);
		add(road[i].v,road[i].u,road[i].len);
	}
	spfa(1);
	cnt=1;
	memset(head,0,sizeof(head));
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		if(dist[road[i].u]+road[i].len==dist[road[i].v])add(road[i].u,road[i].v,road[i].cost),add(road[i].v,road[i].u,0);
		if(dist[road[i].v]+road[i].len==dist[road[i].u])add(road[i].v,road[i].u,road[i].cost),add(road[i].u,road[i].v,0);
	}
	s=1,t=n;
	int maxflow=0;
	while(bfs())maxflow+=dinic(s,inf);
	printf("%d\n%d\n",dist[n],maxflow);
	return 0;
}