二分图有关性质

二分图匹配（匈牙利算法）

1。一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数

König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。

 

2。最小路径覆盖=最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数

 在一个N*N的有向图中，路径覆盖就是在图中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点，
 且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联；（如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点，
 那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次）；如果不考虑图中存在回路，那么每每条路径就是一个弱连通子集．

由上面可以得出：

 1.一个单独的顶点是一条路径；
 2.如果存在一路径p1,p2,......pk，其中p1 为起点，pk为终点，那么在覆盖图中，顶点p1,p2,......pk不再与其它的
   顶点之间存在有向边．

最小路径覆盖就是找出最小的路径条数，使之成为G的一个路径覆盖．

 路径覆盖与二分图匹配的关系：最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数；

3。二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配

独立集：图中任意两个顶点都不相连的顶点集合。

 

1. 无向图的最大独立数: 从V个顶点中选出k个顶，使得这k个顶互不相邻。 那么最大的k就是这个图的最大独立数.

2. 无向图的最大团:   Given a graph G(V, E), a clique is a sub-graph g(v, e), so that for all vertex pairs v1, v2 in v, there exists an edge (v1, v2) in e. Maximum clique is the clique that has maximum number of vertex. （就是从V个顶点选出k个顶，使得这k个顶构成一个完全图，即该子图任意两个顶都有直接的边）

两者的关系:  

1. 原来在图论课上，就学了图论中这些有用的数字: 最小覆盖数，最大独立数，最大匹配数，最大团的数等等。 由上面两者的定义可知:

                                  最大团的个数 = 补图的最大独立数

PS: 原来学二分匹配时就整理过这些数字，他们之间关系是很多。如: 最小覆盖数+最大独立数 = 顶点数。 虽然求出他们都是np问题。但对于特殊的图还是有好的算法的，如:

在二分图中，最小覆盖数 等于 最大匹配数， 而最大独立数又等于 顶点数减去最小覆盖数，所以可以利用匈牙利求出最大独立数等等。所以pku1419其实也可以转化成最大团，取图G的补图，然后调用最大团模板(恩，用这种方法AC的更