博弈论小结
博弈论，今天算是告一段落了。
首先来了解一下什么事博弈模型：
①博弈模型为两个人轮流决定的非合作博弈，即两个人轮流进行决策，并且每次都会采用最优策略。
②博弈模型必须是有限布可以完成的。
③对两个人的规则是公平的。
为了方便理解这个模型我们来定义两个状态：
P状态（必败态）：前一个选手(Previous player)将取胜的位置称为必败点。
N状态（必胜态）：下一个选手(Next player)将取胜的位置称为必胜点。
博弈类型题的一般解法步骤：
①将所有终止状态定义为P状态
②将所有可以一步到达P状态的点，定义为N状态
③如果存在某个状态，它的下一步都是N状态，定义为P状态
④循环②，③步骤
首先来看四个类型的题目
一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
判断条件：n%（m+1)，不为零时获胜。第一步取走n%(m+1)个，然后根据第二个人所取数目k，跟着他取走（m+1-k)个即可。
二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜
判断条件：使用(ak,bk)来表示两个堆里面的物品数，则P状态满足：ak=k*[(1+√5)/2]，bk=ak+k,(k=0,1,2,3......);
三）尼姆博奕（Nimm Game）简称Nim模型：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
判断条件：使用(a1,a2,a3)来描述所处状态，ans=a1^a2^a3，如果ans为零则为P状态。
定理1：Nim游戏的一个状态(x1, x2, x3) 是P状态，当且仅当x1+x2+x3=0。多与三个状态一样满足该定理
定理的证明自己网上找。
自己的理解：Nim模型，为多种情况相同处理的并，而且处理只能是取走任意颗石子
四）Sprague-Grundy函数（简称SG函数）：有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗，最后取光着得胜。
首先来了解一下什么为SG函数，对于一个递增有界的图G（X,F）来说，SG函数g，是定义在X上的函数，函数值是非负整数，使得g(x)的值等于所有x的后继的SG函数中没有出现的最小非负整数。对于递增有界的图，SG函数是唯一的、有界的。所有的终止状态x，因为F（x)是空集，所以g(x)=0.
根据定义，考虑以下三点：
如果x是终止状态，那么g(x)=0。
一个状态x，如果g(x)≠0，那么一定存在一个x的后继y，使得g(y)=0。
一个状态x，如果g(x)=0，那么所有x的后继y，都有g(y)≠0。
这三句话表明，顶点x所代表的position是P-position当且仅当g(x)==0.
计算出所有情况的SG值，最后求异或g(G)=g(G1)^g(G2)^g(G3)........，当g(G)==0时为P状态。
定理2：
设G=G1+G2+…+Gn，Gi的SG函数是gi，i=1, 2, …, n。那么G的SG函数g(x1, x2, …, xn)=g1(x1)+g2(x2)+…+gn(xn)，加法表示Nim和，即不进位的二进制加法。
自己的理解：SG模型，为多种情况不同处理的并，每次都需要求一次g函数，处理可以随便进行
5）补充：阶梯博弈：n个阶梯，阶梯上有一些石子，要求将阶梯上的石子都放到地上，操作只能是从第i个阶梯取若干个石子到第i-1上
判断条件：对只需要对奇数号码的阶梯进行Nim运算即可。
先取者使状态到P状态，如果后面一个人也从奇数号码阶梯取石子，则按照Nim步骤操作即可，从奇数阶梯到偶数阶梯相当于取出石子扔掉。若从偶数号码阶梯取石子，则先取者只需要将相同的石子从个该阶梯传到下面一个即可。
这里有详细介绍：http://blog.csdn.net/kk303/article/details/6692506
推荐几个博客：
http://www.cnblogs.com/Knuth/archive/2009/09/05/1561005.html，寻找必败态——一类博弈问题的快速解法
这其实也是每类博弈题最先考虑的问题，或者突破点所在。
http://www.cnblogs.com/Knuth/archive/2009/09/05/1561002.html，Game theory初步,对两个定理有详细的证明
http://www.cnblogs.com/Knuth/archive/2009/09/05/1561008.html，Nim游戏
http://www.cnblogs.com/Knuth/archive/2009/09/05/1561007.html，Sprague-Grundy函数
http://www.cnblogs.com/tanky_woo/archive/2010/08/20/1804464.html，组合博弈知识汇总，这个博客里面有很多的补充
下面是一些不错的题型：
hdoj1846，题型①
//AC,最简单的博弈题
#include <cstdio>
int main()
{
//freopen("f://data.in","r",stdin);
int C,n,m;
scanf("%d",&C);
while(C--)
{
scanf("%d %d",&n,&m);
if(n%(m+1))
printf("first\n");
else
printf("second\n");
}
return 0;
}
poj1067，题型②
//取石子游戏---威佐夫博奕（Wythoff Game）
#include <cstdio>
#include <cmath>
int main()
{
double t=(1+sqrt(5.0))/2.0;
int a,b;
while(scanf("%d%d",&a,&b)==2)
{
if(a>b)
{
int temp=a;
a=b;
b=temp;
}
int k=b-a;
if(a==(int)(k*t))
printf("0\n");
else
printf("1\n");
}
return 0;
}
hdoj1850，Nim模型
//Nim组合博弈问题
#include <cstdio>
const int nMax=1000000+10;
int M,N[nMax];
int main()
{
//freopen("f://data.in","r",stdin);
while(scanf("%d",&M) && M)
{
int count=0,ans=0;
for(int i=0;i<M;i++)
{
scanf("%d",&N[i]);
ans^=N[i];
}
/*这里有个技巧，首先求出所有的异或值，如果想去除的话，只需要再次进行异或操作即可,因为x^x=0,执行两次等于没有执行。原来每次都需要进行一次计算，这样可使算法效率从O(n*n)缩小到了O(n)*/
for(int i=0;i<M;i++)
{
if((ans^N[i])<N[i])
count++;
}
printf("%d\n",count);
}
return 0;
}
hdoj1907，最后取走的为失败者
这里涉及到一些不同的东西。直接写结论：必败态中有一种情况需要单独判断，奇数个孤单堆（即奇数个堆石子数为1）为必败态。还有一点是，两人在后面取石子的方式会有所不同，需要注意，详细解释在http://www.cnblogs.com/tanky_woo/archive/2010/08/20/1804464.html里面有。当超过1颗石子的堆数大于1的时候，按照Nim的方法走。直到超过1颗石子的堆数等于1，这时将这堆石子全部取掉或剩1颗，保证非空（剩下1颗石子）的堆数为奇数。
//这个问题关键在最后取走的为失败者。
#include <cstdio>
int main()
{
//freopen("f://data.in","r",stdin);
const int nMax=4747+10;
int T,N,A[nMax];
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&N);
int ans=0;
int sum=0;
for(int i=0;i<N;i++)
{
scanf("%d",&A[i]);
ans^=A[i];
sum+=A[i];
}
if(sum==N)
{
printf("%s\n",sum%2?"Brother":"John");
}
else
{
if(ans)
printf("John\n");
else
printf("Brother\n");
}
}
return 0;
}
pdoj1847，简单SG问题，两种解法，第二种更普及一些：
//第一种解法，历编自己找到规律
#include <cstdio>
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
if(n%3==0)
printf("Cici\n");
else
printf("Kiki\n");
}
return 0;
}
//第二种解法
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int nMax=1000+10;
int a[10];
int g[nMax];
void init()
{
for(int i=0;i<10;i++)
a[i]=1<<i;
memset(g,-1,sizeof(g));
g[0]=0;
}
int dfs(int n)
{
if(g[n]!=-1) return g[n];
bool h[15];//从①处可得知数组的大小
memset(h,0,sizeof(h));
int i;
for(i=0;i<10 && n-a[i]>=0;i++)
h[dfs(n-a[i])]=1;//①
for(i=0;h[i];i++);
return g[n]=i;
}
int main()
{
//freopen("f://data.in","r",stdin);
int n;
init();
while(scanf("%d",&n)==1)
{
if(dfs(n))
printf("Kiki\n");
else
printf("Cici\n");
}
return 0;
}
hdoj1536，再来一个SG函数问题加深一下印象
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int mMax=105,nMax=10005;
int k,m,n;
int S[mMax],H[mMax];
int g[nMax];
bool h[nMax][mMax];//从②处可得知，二维数组的大小。
void init()
{
for(int i=0;i<k;i++)
scanf("%d",&S[i]);
memset(g,-1,sizeof(g));
memset(h,0,sizeof(h));
g[0]=0;
}
int dfs(int n)
{
if(g[n]!=-1)
return g[n];
for(int i=0;i<k;i++)
if(S[i]<=n)//①因为S并不一定是从小到大排序好的，所以只能用if语句进行判断。
//纠错时，不要去找语法，语法不会有错，要去发现算法，哪一步出现了问题。或许是某个细节没有注意。
h[n][dfs(n-S[i])]=1;//②
int i;
for(i=0;h[n][i];i++);
return g[n]=i;
}
void solve()
{
scanf("%d",&m);
while(m--)
{
int ans=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&H[i]);
ans^=dfs(H[i]);
}
if(ans)
printf("W");
else
printf("L");
}
printf("\n");
}
int main()
{
//freopen("f://data.in","r",stdin);
for(;;)
{
scanf("%d",&k);
if(!k)
break;
init();
solve();
}
return 0;
}
hdoj1848，其实还是SG函数问题
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int nMax=17;
int F[nMax],N;
int g[1005];
void init()
{
int i;
F[1]=1;
F[2]=2;
for(i=3;F[i-1]<1000;i++)
F[i]=F[i-1]+F[i-2];
N=i-1;
memset(g,-1,sizeof(g));
}
int f(int n)
{
if(g[n]!=-1) return g[n];
bool h[nMax];
memset(h,0,sizeof(h));
int i;
for(i=1;i<=N && F[i]<=n;i++)
h[f(n-F[i])]=1;
for(i=0;h[i];i++);
return g[n]=i;
}
int main()
{
//freopen("f://data.in","r",stdin);
int m,n,p;
init();
for(;;)
{
scanf("%d%d%d",&m,&n,&p);
if(m==0 && n==0 && p==0)
break;
int ans=f(m)^f(n)^f(p);
printf("%s\n",ans==0?"Nacci":"Fibo");
}
return 0;
}
poj1704，阶梯博弈
/*
思路：阶梯博弈
建模：将两个棋子之间的位置数看做石子堆，棋子向左移动看做从左侧石子堆向右侧石子堆转移。
所以该题可转换成阶梯博弈模型进行求解。
*/
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
const int nMax=1010;
int T,N,P[nMax];
int cmp(const void *a,const void *b)
{
int *pa=(int *)a;
int *pb=(int *)b;
return *pa-*pb;
}
int main()
{
//freopen("f://data.in","r",stdin);
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&N);
P[0]=0;
for(int i=1;i<=N;i++)
scanf("%d",&P[i]);
qsort(P,N+1,sizeof(P[0]),cmp);
int ans=0;
for(int i=N;i>=1;i-=2)
{
ans^=P[i]-P[i-1]-1;
}
printf("%s\n",ans==0?"Bob will win":"Georgia will win");
}
}
hdoj1517，寻找失败类自己找出规律来
/*
思路：寻找失败类
这道题是自己做出来的好兴奋啊，原来WA，
通过测试特殊数据找出了程序细节处理上的错误
*/
#include <cstdio>
int op(long long n)
{
if(n%18==0)
return n/18;
else
return n/18+1;
}
int main()
{
//freopen("f://data.in","r",stdin);
long long n;//使用double类型也可通过
while(scanf("%lld",&n)==1)
{
/*if(n==1)
{
printf("Stan wins.\n");
continue;
}
while(n>18) n=op(n);
if(n>1 && n<=9)
printf("Stan wins.\n");
else
printf("Ollie wins.\n");*/
//或者
while(n>18) n=op(n);//因为这里在n=18时候会停止循环，边界处理没有明确，1<=n<=18;
if(n<=9)
printf("Stan wins.\n");
else
printf("Ollie wins.\n");
}
return 0;
}