hdoj 2588 GCD 【欧拉函数 问题转换】

GCD

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Problem Description

The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.

 

Input

The first line of input is an integer T(T<=100) representing the number of test cases. The following T lines each contains two numbers N and M (2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), representing a test case.

 

Output

For each test case,output the answer on a single line.

 

Sample Input

   
   
   
   

    
    
    
    3
1 1
10 2
10000 72
   
   
   
   

 

Sample Output

   
   
   
   

    
    
    
    1
6
260
   
   
   
   

 

题意： 在区间[1,n] 里面求出满足 gcd(x, n) >= m 的x有多少个。

转换问题： 我们可以让 n = a * b，x = a * d（b >= d），若gcd(x, n)  = a ，那么 b 和 d 一定互质 ，而此时 x的个数即 b 的欧拉函数。 

这样问题就变成 在满足 b >= m 的情况下 ， 对应n / b 的欧拉函数之和。

 

结果果断TLE。。。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int euler(int n)//求n的欧拉函数 
{
	int eu = n;
	int i;
	for(i = 2; i*i <= n; i++)
	{
		if(n % i == 0)
		{
			eu = eu * (i-1) / i;
			while(n % i == 0)
			n /= i;
		}
	}
	if(n > 1) eu = eu * (n-1) / n;
	return eu;
}
int main()
{
	int t;
	int n, m;
	int i;
	int ans;
	scanf("%d", &t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d", &n, &m);
		ans = 0;
		for(i = 1; i <= n; i++)//遍历所有可能的 i  
		{
			if(n % i)//不能整除 
			continue;
			/*只处理n % i == 0 的 i */ 
			if(i >= m) ans += euler(n/i);//大于或者等于 m 加上对应的n/i的欧拉函数 
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}

问题出在哪？ 很显然，

for(i = 1; i <= n; i++)//遍历所有可能的 i  
{
	if(n % i)//不能整除 
	continue;
	/*只处理n % i == 0 的 i */ 
	if(i >= m) ans += euler(n/i);//大于或者等于 m 加上对应的n/i的欧拉函数 
}

n最大1000 000 000 TLE必然事件。

 

可以这样优化一下：

只遍历一半，加上 n/i >= m 的情况（记着i * i == n 的情况不能加）

for(i = 1; i*i <= n; i++)//遍历所有可能的 i  
{
	if(n % i)//不能整除 
	continue;
	/*只处理n % i == 0 的 i */ 
	if(i >= m) ans += euler(n/i);//大于或者等于 m 加上对应的n/i的欧拉函数 
	if(n/i >= m && i*i != n) ans += euler(i);
}
		

 

ac代码：15ms (真快)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int euler(int n)//求n的欧拉函数 
{
	int eu = n;
	int i;
	for(i = 2; i*i <= n; i++)
	{
		if(n % i == 0)
		{
			eu = eu * (i-1) / i;
			while(n % i == 0)
			n /= i;
		}
	}
	if(n > 1) eu = eu * (n-1) / n;
	return eu;
}
int main()
{
	int t;
	int n, m;
	int i;
	int ans;
	scanf("%d", &t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d", &n, &m);
		ans = 0;
		for(i = 1; i*i <= n; i++)//遍历所有可能的 i  
		{
			if(n % i)//不能整除 
			continue;
			/*只处理n % i == 0 的 i */ 
			if(i >= m) ans += euler(n/i);//大于或者等于 m 加上对应的n/i的欧拉函数 
			if(n/i >= m && i*i != n) ans += euler(i);
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}