SCU - 2763 Factorial（任意阶乘中任意数的次数）

题目：

Description
Robby is a clever boy, he can do multiplication very quickly, even in base-2 (binary system), base-16 (hexadecimal system) or base-100000.

Now he wants to challenge your computer, the task is quite simple: Given a positive integer N, if we express the N ! (N ! = N * (N - 1) * (N - 2) * ... * 2 * 1) 
in base-B, how many ZEROs there will be at the end of the number. Can you make a wonderful program to beat him?
Input
Each test case contain one line with two numbers N and B. (1 ≤ N ≤ 10^9, 2 ≤ B ≤ 100000)
The input is terminated with N = B = 0. 

Output
Output one line for each test case, indicating the number of ZEROs.

Sample Input
7 10
7 10000
7 2
0 0

Sample Output
1
0
4

题目的意思就是，任给2个整数n、b，要求n!的b进制表示中有多少个后缀0

即求满足b^k整除n!的最大整数k

如果b是素数的话就非常简单，如果你不这么认为的话，请点击打开我的博客

我的这篇博客是另外1个题目，和这个有关系，下面这个重要的函数我又用了一次

long long degree_in_fact(long long m, int p)
{
	if (m)return degree_in_fact(m / p, p) + m / p;
	return 0;
}

本题b不是素数，但是原理的本质却是一样的。

把b进行唯一分解（不知道的请点击打开链接（算数基本定理））

比如b=224=2^5 * 7

那么b^k|n等价于2^（5*k）|n且7^k|n

所以k要么是degree_in_fact(n,2)/5要么是degree_in_fact(n,7)，取其中较小的

有趣的是，但就b=224的情况来说，上面这2个谁大谁小还和n有关。

比如n为7的时候，degree_in_fact(7,2)/5=0，degree_in_fact(7,7)=1

当n为100的时候，degree_in_fact(100,2)/5=19，degree_in_fact(100,7)=16

至于一般的规律，我也没总结出来，但是应该都是像上面这样，只有2个都算出来才知道哪个更小。

写代码之前我做了预处理，知道了小于100000的素数有9592个。

然后又把代码改写成素数打表，对p数组进行初始化。

最后写本题代码，遍历p数组达到分解b的目的。

因为b最多有6个素因子，所以及时break可以提高一些效率。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;

int p[9592];

bool isprime(int n)
{
	for (int i = 2; i*i <= n; i++)if (n%i == 0)return false;
	return true;
}

long long degree_in_fact(long long m, int p)
{
	if (m)return degree_in_fact(m / p, p) + m / p;
	return 0;
}

int main()
{
	int k = 0;
	for (int i = 2; i < 100000; i++)if (isprime(i))p[k++] = i;
	int n, b;
	while (cin >> n >> b)
	{
		if (b == 0)break;
		int r = 1234567890;
		for (int i = 0; i < 9592; i++)
		{
			if (b%p[i])continue;
			int degree = 0;
			while (b%p[i] == 0)
			{
				b /= p[i];
				degree++;
			}
			int t = degree_in_fact(n, p[i]) / degree;
			if (r>t)r = t;
			if (p[i] > b)break;
		}
		cout << r << endl;
	}
	return 0;
}