[家里蹲大学数学杂志]第285期华中师范大学1998年数学分析考研试题参考解答

1. ($12'$) 设 $f(x)$ 是实系数奇次多项式, 证明: 在 $\bbR$ 上至少存在一点 $x_0$ 使得 $f(x_0)=0$.

证明: $f$ 的复根成对出现.

 

 2. ($12'$) 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 若对于 $[a,b]$ 上任何子区间 $[c,d]$ 都有 $\dps{\int_c^df(x)\rd x=0}$. 试证: $f\equiv 0$.

证明: 仅须证明 $f(x)=0$, $x\in (a,b)$. 用反证法后利用连续函数的保号性得到矛盾.

 

 3. ($12'$) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, 对 $\forall\ x\in [0,1]$ 有 $|f'(x)|\leq m$. 证明对任何正整数 $n$, 有 $$\bex \sev{\int_0^1 f(x)\rd x-\cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\sex{\cfrac{i}{n}}}\leq \cfrac{m}{2n}. \eex$$

证明: 用拟合法: $$\beex \bea &\quad \sev{\int_0^1 f(x)\rd x-\cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\sex{\cfrac{i}{n}}}\\ &=\sev{\sum_{i=1}^n \int_\frac{i-1}{n}^\frac{i}{n} \sez{f(x)-f\sex{\cfrac{i}{n}}}\rd x}\\ &\leq \sum_{i=1}^n\int_\frac{i-1}{n}^\frac{i}{n} \sev{f(x)-f\sex{\cfrac{i}{n}}}\rd x\\ &= \sum_{i=1}^n\int_\frac{i-1}{n}^\frac{i}{n} |f'(\xi_n)|\cdot \sev{x-\cfrac{i}{n}}\rd x\\ &\leq m\sum_{i=1}^n\int_\frac{i-1}{n}^\frac{i}{n}\sev{x-\cfrac{i}{n}}\rd x\\ &=\frac{m}{2n}. \eea \eeex$$

 

 4. ($12$) 求下列极限 $$\bex (1)\lim_{x\to 0}\cfrac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^3};\quad\quad (2)\lim_{x\to 0}\cfrac{1-x^2-e^{-x^2}}{x\sin^32x}. \eex$$

解答: (1) $$\beex \bea \mbox{原式}&=\lim_{x\to 0} \cfrac{\sez{1+x+\cfrac{x^2}{2}+o(x^2)}\sez{x-\cfrac{x^3}{6}+o(x^3)} -x-x^2 }{x^3}\\ &=\lim_{x\to0}\cfrac{\cfrac{x^3}{2}-\cfrac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}\\ &=\cfrac{1}{3}. \eea \eeex$$ (2) $$\beex \bea \mbox{原式}&=\lim_{x\to 0}\cfrac{1-x^2-\sez{1-x^2+\cfrac{x^4}{2}+o(x^4)}}{x(2x)^3}\\ &=\cfrac{-\cfrac{1}{2}}{8}\\ &=-\cfrac{1}{16}. \eea \eeex$$

 

 5. ($16'$) 证明: 当 $x>0$ 时,

(1) $\dps{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\cfrac{1}{2\sqrt{x+\tt(x)}}}$, 其中 $\cfrac{1}{4}<\tt(x)<\cfrac{1}{2}$;

(2) $\dps{\lim_{x\to 0^+}\tt(x)=\cfrac{1}{4},\ \lim_{x\to +\infty}\tt(x)=\cfrac{1}{2}}$.

证明: 由 Lagrange 中值定理, $$\bex \sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\cfrac{1}{2\sqrt{x+\tt(x)}},\quad 0<\tt(x)<1. \eex$$于是 $$\beex \bea \tt(x)&=\cfrac{1}{4\sex{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}^2}-x\\ &=\cfrac{\sex{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}^2}{4}-x\\ &=\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{2\sex{\sqrt{1+\cfrac{1}{x}}+1}} \eea \eeex$$为 $x$ 的增函数. 由于 $$\bex \tt(x)\to \cfrac{1}{4}\ (x\to0^+);\quad \tt(x)\to\cfrac{1}{2}\ (x\to +\infty), \eex$$我们有 $\cfrac{1}{4}<\tt(x)<\cfrac{1}{2}$.

 

 6. ($12'$) 证明: 函数 $\dps{f(x)=\sum_{n=1}^\infty x^2e^{-nx}}$ 在 $[0,\infty)$ 上连续.

证明: 设 $f_n(x)=x^2e^{-nx}$, 则由 $$\bex f_n'(x)=x(2-nx)e^{-nx} \eex$$知$$\bex \max_{x\in [0,\infty)}f_n(x)=f\sex{\cfrac{2}{n}}=\cfrac{4}{n^2}e^{-2}. \eex$$于是函数项级数 $\dps{\sum_nf_n(x)}$ 有优级数 $\dps{4e^{_2}\sum_n\cfrac{1}{n^2}}$. 据 Weierstrass 优级数判别法即知 $\dps{\sum_nf_n(x)}$ 一致收敛, 而和函数 $f(x)$ 连续.

 

 7. ($12'$) 设函数 $f$ 满足条件:

(1) $a\leq f(x)\leq b$;

(2) $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|,\ \forall\ x,y\in [a,b], 0<k<1.$

任取 $x_0\in [a,b]$. 作序列 $x_{n+1}=\cfrac{1}{2}[x_n+f(x_n)],\ n=0,1,2,\cdots$. 证明: $\sed{x_n}$ 收敛.

证明: 由 $$\beex \bea |x_{n+1}-x_n| &=\cfrac{1}{2}\sez{\sev{x_n-x_{n-1}}+\sev{f(x_n)-f(x_{n-1})}}\\ &\leq \cfrac{1+k}{2}|x_n-x_{n-1}|\\ &\leq\cdots\\ &\leq \sex{\cfrac{1+k}{2}}^n\sev{x_1-x_0},\\ |x_{n+p}-x_n|& \leq \sum_{i=n}^{n+p-1}\sev{x_{i+1}-x_i}\\ &\leq \sum_{i=n}^{n+p-1}\sex{\cfrac{1+k}{2}}^i|x_1-x_0|\\ &\leq \sex{\cfrac{1+k}{2}}^n\cfrac{1}{1-\cfrac{1+k}{2}}|x_1-x_0|\\ &\to 0\quad(n\to\infty) \eea \eeex$$及 Cauchy 判别法即知 $\sed{x_n}$ 收敛.

 

 8. ($12'$) 设 $f$ 在 $x_0$ 的邻域内 $n$ 阶可导, 且 $f^{(n)}$ 连续, $$\bex f^{(n)}(x_0)\neq 0, f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0. \eex$$ 证明: 当 $n$ 为偶数时, $x_0$ 为 $f$ 的极值点.

证明: 由 Taylor 公式,$$\bex f(x)=f(x_0)+\cfrac{f^{(n)}(\xi_n)}{n!}(x-x_0)^n,\quad x\in U(x_0). \eex$$故当 $n$ 为偶数时, 若 $f^{(n)}(x_0)>0$, 则 $x_0$ 为 $f$ 的极小值点; 若 $f^{(n)}(x_0)<0$, 则 $x_0$ 为 $f$ 的极大值点.