数学:《初等书论》素数与合数

定义

一个大于 1  的正整数,只能被 1 和自身整除,这样的正整数叫做:素数(质数)。否则,这样的正整数叫做合数。

性质 1 

如果 a 是一个大于 1 的正整数,且所有的不大于 √a 的素数都除不尽 a,则 a 是素数。

证明

先证明:如果所有不大于 √a 的素数都除不尽 a,则所有不大于 √a 的合数也除不尽 a。

反证法:如果有不大于 √a 的合数 m 可以除尽 a,则一定有小于 m 的素数 n 可以除尽 a(再次反正可以得出这个结论),n <= √a,与所有不大于 √a 的素数都除不尽 a 矛盾。

再证明:如果 a 是一个大于 1 的正整数,且所有的不大于 √a 的素数都除不尽 a,则 a 是素数。

反证法:如果 a 不是素数,a = bc,所有的不大于 √a 的素数都除不尽 a,所以 b > √a 且 c > √a,推出 bc > a,与 a = bc 矛盾。

 

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