题意:求字符集为 k k k,长度为 L L L的字符串,满足没有任何一个长度超过 1 1 1的回文连续子串的数量,其中可能指定了字符串的第 s s s位为 w w w。字符集:一个字符串中不同字符的数量。例如,字符集是 3 3 3的话,你可以认为字符串仅由 “ A , B , C ” “A,B,C” “A,B,C”三个字母组成。 ( k , L < = 1 0 18 ) (k,L<=10^{18}) (k,L<=1018)
这题一眼看上去很不可做QAQ,考场上只有20pts。
首先,我们先考虑没有限制的情况,第 1 1 1位可以放字符集内的所有字符,即有 k k k种情况,而第 2 2 2位因为不能形成与第 1 1 1位形成回文,所以可以放 ( k − 1 ) (k-1) (k−1)种字符,而第 3 3 3位因为不能与第 1 1 1位和第 2 2 2位形成回文,所以可以放 ( k − 2 ) (k-2) (k−2)种字符。而第 4 4 4位因为不能与第 2 2 2位和第 3 3 3位形成回文,所以同样有 ( k − 2 ) (k-2) (k−2)种情况。以此类推我们发现从第 3 3 3位开始,一直到第 L L L位,每一位均有 ( k − 2 ) (k-2) (k−2)种情况。得出结论:在不能形成回文串的情况下,每一个字符只需不与前两个相同。所以对于没有限制的情况答案就是 k ∗ ( k − 1 ) ∗ ( k − 2 ) L − 2 k*(k-1)*(k-2)^{L-2} k∗(k−1)∗(k−2)L−2。
然后我们考虑有限制的情况,因为只有一位限制,如果限制在第 1 1 1位,则第 2 2 2位有 ( k − 1 ) (k-1) (k−1)种情况,第 3 3 3位到第 L L L位均有 ( k − 2 ) (k-2) (k−2)种情况。如果限制在第 2 2 2位,则第 1 1 1位有 ( k − 1 ) (k-1) (k−1)种情况,第 3 3 3位到第 L L L为均有 ( k − 2 ) (k-2) (k−2)种情况。如果限制在第 3 3 3位,则第 1 1 1位有 ( k − 1 ) (k-1) (k−1)种情况,第 2 2 2位有 ( k − 2 ) (k-2) (k−2)种情况,第 4 4 4位到第 L L L为均有 ( k − 2 ) (k-2) (k−2)种情况。以此类推对于有一位限制,答案就是 ( k − 1 ) ∗ ( k − 2 ) L − 2 (k-1)*(k-2)^{L-2} (k−1)∗(k−2)L−2。
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
ll k,l,p,s,w;
ll ksm(ll q,ll w)
{
ll h=1;
while(w)
{
if(w&1)
h=h*q%p;
q=q*q%p;
w>>=1;
}
return h;
}
int main()
{
cin>>k>>l>>p>>s;
k%=p;
if(s!=0)
cin>>w;
if(s==0)
printf("%lld",(k%p*(k-1)%p*ksm(k-2,l-2))%p);
else
printf("%lld",((k-1)%p*ksm(k-2,l-2))%p);
return 0;
}