（**动态规划，背包问题）购物单

题目描述：

      王强今天很开心，公司发给N元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：
主件         附件
电脑         打印机，扫描仪
书柜         图书
书桌         台灯，文具
工作椅 无
      如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。王强想买的东西很多，为了不超出预算，他把每件物品规定了一个重要度，分为 5 等：用整数 1 ~ 5 表示，第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍）。他希望在不超过 N 元（可以等于 N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
       设第 j 件物品的价格为 v[j] ，重要度为 w[j] ，共选中了 k 件物品，编号依次为 j 1 ， j 2 ，……， j k ，则所求的总和为：
v[j 1 ]*w[j 1 ]+v[j 2 ]*w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ] 。（其中 * 为乘号）

    请你帮助王强设计一个满足要求的购物单。

输入描述：

输入的第 1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m

（其中 N （ <32000 ）表示总钱数， m （ <60 ）为希望购买物品的个数。）

从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q

（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1 ~ 5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）

输出描述：

      输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（ <200000 ）。

思路：

背包问题

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        while (scanner.hasNext())
        {
            int n = scanner.nextInt(); //总钱数
            int m = scanner.nextInt(); //个数
            int[] v = new int[m]; //价格
            int[] p = new int[m]; //价格*重要度
            int[] q = new int[m]; //0表示为主件，>0表示附件所属的主件编号
            for (int i = 0; i < m; i++)
            {
                v[i] = scanner.nextInt();
                p[i] = scanner.nextInt() * v[i];
                q[i] = scanner.nextInt();
            }
            System.out.println(getMaxValue(n, m, v, p, q));
        }
    }
    public static int getMaxValue(int n, int m, int[] v, int[] p, int[] q)
    {
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if (q[i - 1] == 0)  //主件
                {
                    if (v[i - 1] <= j)
                        dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i - 1]] + p[i - 1]);
                }
                else  //附件
                {
                    if (v[i - 1] + v[q[i - 1]] <= j)
                        dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i - 1] - v[q[i - 1]]] + p[i - 1] + p[q[i - 1]]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

动态规划：动态规划就是将一个大问题不断向下拆分成小问题，直到拆分出的小问题可以求出其解，然后将小问题的解不断向上合并，最终得到大问题的解决方案。

背包问题：一个旅行者有一个最多能装m公斤的背包，现在有n件物品，每件的重量分别是w1, w2, ..., wn，每件物品的价值分别为c1, c2, ..., cn，需要将物品放入背包中，要怎样放才能保证背包中物品的总价值最大？

假设前n个物品，总承重为j，物品的重量为w，其最大价值为v[n,j]。  　

在背包的总承重不变的前提下，一个物品是否放入背包中直接影响到后面的物品是否能放入到背包中，即一个物品很重同时物品价值又很低时，若装入背包中直接导致其他更多的物品无法放入背包中，从而使得背包中的最大总价值变低。  　　

当背包的承重为0，或者不将物品放入背包时，背包中的最大总价值均为0，即v[n,0]=v[0,n]=0。  　　

当放入当前物品n超过背包的最大承重时，则无法将该物品放入背包中，即v[n,j]=v[n-1,j]。　  　　

当放入当前物品n不超过背包的最大承重时，则当前物品放入背包时的最大价值为vn+v[n-1,j-wn]，不放入背包时的最大价值为v[n-1,j]，因此对于当前物品是否放入背包中所能获得的最大价值为v[n,j]=max{ v[n-1,j], vn+v[n-1,j-wn] }。