算法学习（17）二分法求非线性方程的解

1.前言

算法学习这部分，自从离开了数论后，程序效率可提升的地方变少了，因此看起来，好像没意思了……换句话说，之前那种通过尝试不同语句、不同求解思路来极大提升程序效率的快感没了……这好像也间接导致了我更新博客的速度变慢了（有推脱自己三分钟热度的嫌疑）……

接下来这部分的内容，程序主要依赖于数学分析，而程序的主体，按着数学分析的步骤表述清楚即可，因此，分析说明会更加简单。（写博客的初衷是为了督促自己持续编程，而不是为了写成很详细的说明文档，具体专题，还是要参考书籍，请谅解~）

2.问题

用二分法求方程
$$2x^3-5x-1=0$$
在区间$[1,2]$的根，使绝对误差不超过$10^{-5}$

2.1 名词解释

1. 二分法：又称对分法，最简单的解一元非线性方程根的算法之一。基本思路是，将含根区间$I$ 逐次分半减小，得到一个区间长度以 $I/2$ 的比例减小的含根区间序列 $I_1,I_2.....$等
2. 绝对误差：区间长度$I_i$ 小于给定的限制，如本题的 $10^{-5}$

3.编程解决

3.1 编程解决

3.1.1 编程思路

1. 从给定区间$[a,b]$ 开始，验证区间端点，一定要满足 $f(a)\ast f(b)<0$, 不满足，一般不存在根或是区间太过宽泛
2. 取区间$[a,b]$中点$c=\frac{a+b}{2}$, 验证 $f(c)$是否等于$0$, 等于则 $c$就是方程的解，退出；否则到第3步
3. 区间缩小一半。判断是 $f(a)\ast f(c)<0$ 还是 $f(b)\ast f(c)<0$，目的是提出乘积小于0的组合，然后，把$c$替换成$a$ 或是 $b$; 跳到步骤2继续执行，知道区间长度 $b-a<10^{-5}$, 跳出循环

3.1.2 实现代码

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Date    : 2019-05-03 20:54:28
# @Author  : Promise ([email protected])
# @Link    : ${link}
# @Version : $Id$

# 用二分法求方程的关键是，先定义返回待计算函数值的函数，然后判断端点的取值，从而缩小区间
import math


# 定义函数
def func(x):
    return 2*x*x*x - 5*x - 1


# 给定根的区间，通过不断判断区间中点的函数值是否小于误差，还有区间端点的精度够不够，从而决定是不是拿中点当解
def findAnswer(a, b):  # 输入解的端点
    # 正常这里要检查端点，先忽略了
    if func(a) * func(b) > 0:
        print('所选区间有误，请更正！')  # 很大程度会是错的
        return None
    middle = (a + b) / 2
    while (b-a) > 1e-5 or math.fabs(func(middle)) > 1e-5:  # 一方面是区间要小于10的负五，取值的差要衡量跟0的距离
        # 更新区间
        if func(middle) * func(a) < 0:
            b = middle
        elif func(middle) * func(b) < 0:
            a = middle
        else:
            print('所选区间不止一个根')
        middle = (a + b) / 2  # 更新区间
    return middle


def main():
    a, b = eval(input('请输入区间端点：'))
    result = findAnswer(a, b)
    print('解x=', result)
    print(func(result))


if __name__ == '__main__':
    main()

3.1.3 运行效果

上图是只有单独一个判断条件 $(b-a)>10^{-5}$

本图是判断条件有两个$(b-a)>10^{-5}$ and $|func(middle)|>1e-5$, 第二个条件用于刻画函数值跟零的接近程度，由于舍入误差，我们不可能得到函数值完全等于$0$的情况，于是，只能借助不等式来表达。不过，对比上图，二者差别其实不大。

3.1.4 代码分析

1. 单独定义一个方程求值的函数$func(x)$，便于值比较 ,更高级的求解，是函数可以输入系数，这里从简，省略了
2. 在求解的主函数，判断区间是否可用，很重要，如果区间一开始不满足端点符号相异，接下来的求解都没有意义。
3. 根据实验结果的分析，只要根的精确度在给定的区间，函数值一般不会差太多，所以增加函数值判断的条件，可有可无
4. 注意区间端点的更新条件

总结

本篇博客使用求解非线性方程最简单额二分法进行求解，难点在于区间更新和值精确度的确定，弄懂了这两个，就能正确求解。

下一篇是牛顿迭代法求解。