BZOJ 3143 浅谈高斯消元解复数组期望方程

世界真的很大
许多工具都是可以结合起来用的
由期望递推的条件渐渐地可以推导出一些结论
当这些结论进入你所掌握的任何一种算法的解决范畴内，问题就是可解的了

看题先：

description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。 
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。 
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数 和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

首先分析题意，我们需要给每条边附上权值使得总的权值期望和最小
每条边的期望权值就是：这条边的期望经过次数 * 权值
很明显我们想要把大的权值付给小的期望经过次数的边，小的权值付给大的期望经过次数的边，以保证总的期望最小
很明显这个sort一遍一一配对就行了

现在我们就想要得到每一条边的期望经过次数
考虑是无向图，设一条边的两端点是u和v，那么可以从u到v，也可以从v到u，
其期望和就是u到v的期望经过次数加上v到u的期望结果次数

现在考虑u到v的期望经过次数
要想从u到v，就必须先到u，而到了u以后，又由于u到每条边的概率是相同的，那么u到v的期望结果次数就等价于：u的期望结果次数 / u的度数

现在考虑怎么得到每个点的期望结果次数
除了1号点一开始就在以外，其余所有点都必须由其相连的点转移过来，而考虑期望等于权值 * 概率，从任意点转移到任意点权值为1，所以就无需考虑权值，每个点的期望值就是与他相连的点的期望值 / 那个点的度数的累加，即：
f[1]=1+sigma(f[j]/degree(j),j和1有边)
f[i]=sigma(f[j]/degree(j),j和i有边) //i>=2

现在得到了这么一个结论，结论中并没有出现新的变量和定义，即无法继续转移，所以得出，我们必须要解决这个结论

考虑对于每一个i，都有这么一个式子，那么就有n个式子，一共有f1到fn一共n个未知数，正好是高斯消元可以解决的问题，一看数据范围，正好合适，得解

需要注意的地方，由于一旦走到n这个点就结束，所以不用考虑从n转移出来的情况

完整代码：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef double ld;

const double eps=1e-10;

struct edge
{
    int u,v,last;
    double tot;
}ed[3000010],sid[300010];

int n,m,num=0,head[300010],du[300010];
double ans=0,a[1010][1010],f[300010];

bool cmp(const edge &a,const edge &b)
{
    return a.tot-b.tot>eps;
}

void add(int u,int v)
{
    num++;
    ed[num].v=v;
    ed[num].last=head[u];
    head[u]=num;
}

void Gauss()
{
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int j=-1;
        double maxn=eps;
        for(int k=cnt+1;k<=n;k++)
            if(fabs(a[k][i])>maxn)
                j=k,maxn=fabs(a[k][i]);
        if(j==-1) continue ;
        for(int k=i;k<=n+1;k++)
            swap(a[j][k],a[cnt+1][k]);
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(j==cnt+1) continue ;
            if(fabs(a[j][i])continue ;
            double r=a[j][i]/a[cnt+1][i];
            for(int k=i;k<=n+1;k++)
                a[j][k]-=r*a[cnt+1][k];
        }
        cnt++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&sid[i].u,&sid[i].v);
        add(sid[i].u,sid[i].v),add(sid[i].v,sid[i].u);
        du[sid[i].u]++,du[sid[i].v]++;
    }
    n--;
    for(int u=1;u<=n;u++)
    {
        for(int i=head[u];i;i=ed[i].last)
            if(ed[i].v!=n+1)
                a[u][ed[i].v]+=(double) 1.0/du[ed[i].v];
        a[u][u]=-1,a[u][n+1]=0;
    }
    a[1][n+1]=-1;
    Gauss();
    for(int i=1;i<=m;i++)
        sid[i].tot=(double) f[sid[i].u]/du[sid[i].u]+(double) f[sid[i].v]/du[sid[i].v];
    sort(sid+1,sid+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        ans+=(double) i * sid[i].tot;
    printf("%0.3lf\n",ans);
    return 0;
}
/*
EL PSY CONGROO
*/

嗯，就是这样