雅克比矩阵&行列式——单纯的矩阵和算子

     最近接触了一点雅克比的东西，以前学习雅克比矩阵和雅克比行列式是在高数上，就知道个二重积分的时候可以用一下，其他的真没遇到过。最近在学习随机过程，在涉及到随机变量转化求解概率密度函数时，猛然冒出雅克比行列式让我刮目相看，于是再次学习这些东西。

 

   首先介绍定义，雅克比矩阵是一阶偏导数以一定的方式排列成的矩阵，当其实方阵时，行列式称为雅克比行列式。设有m个n元函数组成的函数组：，称之为函数组。我们对这个函数组取一阶导数，获得下面的雅克比矩阵：

如果m=n，那么J就是一个方阵，于是我们就得到对应的雅克比行列式：

首先讨论雅克比矩阵，凡是矩阵都可以看做是一个线性空间之间的转换工具，这里也不例外，我们将雅克比矩阵看做是将点转化到点，或者说是从一个n维的欧式空间转换到m维的欧氏空间。这里需要强调的是不要和hessian 阵混合，后者也是梯度矩阵，针对的是多元函数的二阶偏导数构成的方块阵。

下面介绍雅克比矩阵和雅克比行列式的数学和物理意义。

Eg1.雅克比矩阵可以用来体现一个可微方程与给定的某个点的最佳线性逼近，也可以理解为某点的一阶展开，因为雅克比矩阵类似多元函数的导数，只是这里的函数是函数组。雅克比矩阵的第i行的转置就是函数yi的梯度。例如在某点p处可微，那么我们将有。

Eg2.坐标变换

   球坐标与直角坐标的变换公式如下：

    实现了将球空间转化为笛卡尔空间。我们得到的雅克比矩阵是

     

    更加具体的参考blog：

    http://blog.sina.com.cn/s/blog_4062094e0100c2p1.html

    这个需要强调的是在这个例子中雅克比矩阵更加准确的体现的是其微分形式，反应了原始空间微小变化引发的值域空间的变化的敏感度。

Eg3. 雅克比行列式的性质。雅克比行列式可以看做是空间的坐标变换时对应的面积（或者体积）元素的伸缩系数

     在应用到多重积分的变量替换是最常用到的。例如对于二重积分：

    ---------1，

     我们进行变量替换 -------2，于是将公式2代入到1中我们得到：

，在这里。我们做这么麻烦的转化只是为了将来的运算方便，一种情况是在x，y不好运算，比如我们用极坐标运算来代替直角坐标运算。第二种是，x，y的运算未知，而我们已   经知道了u，v的运算以及两者之间转换关系。

    总之，雅克比行列式表示不同坐标下的转换尺度。