Clark变换与Park(派克)变换

clark变换：将abc 变换到 静止 的 αβ α β 坐标系下。
Park变换：将abc 变换到 旋转 的 dq d q 坐标系下。

记三相对称电压如下：

Ua=Ub=Uc=VmcosωtVmcos(ωt−23π)Vmcos(ωt+23π) U a = V m cos ⁡ ω t U b = V m cos ⁡ ( ω t − 2 3 π ) U c = V m cos ⁡ ( ω t + 2 3 π )

如图所示，将它们投影到 αβ α β 轴上，有：

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Clark transformation 3s−2s 3 s − 2 s （仅考虑三相三线制情形，零序分量被忽略，详细推导可参考陈伯时《电力拖动自动控制系统-运动控制系统》第三版 P263）

[UαUβ]=m∗[10−123√2−12−3√2]⎡⎣⎢UaUbUc⎤⎦⎥ [ U α U β ] = m ∗ [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ U a U b U c ]

若 m=23−−√ m = 2 3 ,变换前后，功率不变。又称为： Concordia变换
若 m=23 m = 2 3 , 变换前后，幅值不变。

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Inverse Clark transformation 2s−3s 2 s − 3 s

⎡⎣⎢UaUbUc⎤⎦⎥=m′⎡⎣⎢⎢⎢1−12−1203√2−3√2⎤⎦⎥⎥⎥[UαUβ] [ U a U b U c ] = m ′ [ 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 ] [ U α U β ]

若 m′=23−−√ m ′ = 2 3 ,变换前后，功率不变。
若 m′=1 m ′ = 1 ,变换前后，幅值不变。

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Park transformation 3s-3r
恒幅值：

⎡⎣⎢UdUqU0⎤⎦⎥=23∗⎡⎣⎢cosθ−sin(θ)1/2cos(θ−2π/3)−sin(θ−2π/3)1/2cos(θ+2π/3)−sin(θ+2π/3)1/2⎤⎦⎥⎡⎣⎢UaUbUc⎤⎦⎥ [ U d U q U 0 ] = 2 3 ∗ [ c o s θ c o s ( θ − 2 π / 3 ) c o s ( θ + 2 π / 3 ) − s i n ( θ ) − s i n ( θ − 2 π / 3 ) − s i n ( θ + 2 π / 3 ) 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ] [ U a U b U c ]

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inverse Park transformation 3r-3s
恒幅值：

⎡⎣⎢UaUbUc⎤⎦⎥=⎡⎣⎢cosθcos(θ−2π/3)cos(θ+2π/3)−sin(θ)−sin(θ−2π/3)−sin(θ+2π/3)111⎤⎦⎥⎡⎣⎢UdUqU0⎤⎦⎥ [ U a U b U c ] = [ c o s θ − s i n ( θ ) 1 c o s ( θ − 2 π / 3 ) − s i n ( θ − 2 π / 3 ) 1 c o s ( θ + 2 π / 3 ) − s i n ( θ + 2 π / 3 ) 1 ] [ U d U q U 0 ]

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从Clark变换 到Park变换，可由一个旋转变换连接：

Sαβ0/dq0=⎡⎣⎢cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎤⎦⎥ S α β 0 / d q 0 = [ c o s θ s i n θ 0 − s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ]

Tabc/dq0=Tabc/αβ0∗Sαβ0/dq0 T a b c / d q 0 = T a b c / α β 0 ∗ S α β 0 / d q 0