基础数学

基础数学(数据结构所需基础)-不定期更新中…

1. 指数

例如:$X^a{X}^b=X^a+b$ …

2. 对数

在计算机科学中，除非有特别声明，否则所有的对数均以2为底
对数公式(四则运算法则):
$loga^(MN) = loga^M+logaN $ ,
$log{a}^{(}M/N)=log{a}^M-log{a}^N$ ,
$loga^{Mn} = nloga^M $
换底公式: $log{m}^n=log{a}^m/log{a}^n$
换底导出公式 : $ logM^N = -logN^M $
对数恒等式: $a^{(}log{a}^M)=M$

对数得来(10 为底数): $ 10^2 = 100$,$lg100 = 2$

例(10 为底数):
计算该值: $lg200-lg2$
计算过程: $lg200-lg2=lg200/2=lg100=2$
例(10 为底数):
y=2^{x,这就是一个次方函数，我们知道2}5=32,那么现在我想知道的就是32是2多少次方呢？这里就出现了我们提到的log函数，2就是指数函数中的底数，则y=2^x,的逆函数就是x=log2y,因排版原因，log2这个2是写在右下角。
现在知道以2为底数的log了，那不同底数的log按上面的理解就行了。

例如:
$log{A}^B=\frac{log{c}^B}{log{c}^A};A,B,C>0,A̸=1,c̸=1$
例如:
(1) 求 N ! (1 <= N <= 5000)中有多少位数字。
若直接求 N ! 的结果，然后再计算有多少位数字，也是可行的，因为是大数阶乘，所以要用数组来计算，会用到大量的乘法除法取余运算，时间空间花费都比较大。
用对数的性质来解这个题是最佳的选择。
首先我们知道 看一个数字有多少位就是看它是10的几次幂，如101有2位，102 有3位。
也就是 10x(k=我们要求log10( N ! )

log10( N ! ) = log101 + log102 +  log103 + ... + log10N

int GetDigitsNumInFactorial(int n)
{
    double d = 0.0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        d += log10(i);
    return int(d)+1;
}

(2) 对一个正整数n (n <= 1,000,000,000)和m (m <= 1,000,000,000)输出n的m次方的最左一位数字。
对于这个题目也是，n的范围这么大，肯定也不能直接去求了。还是利用对数来解决。
令x=log10(nm)=mlog10n，即nm=10x。设x的整数部分为a，小数部分为b，nm=10a10b，对于10的整数次幂10a，第一位是1，所以，nm的第一位数取决于10b。

int GetLeftMostDigitOfMthPower(int n, int m)
{
    double x, a, b;
    x = m * log10(n);
    a = floor(x);
    b = x - a;
    return int(pow(10, b));
}

3. 级数

级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数
级数 公式: ${\sum }_{i=1}^n{2}^i=2^{n+1}-1$ , ${\sum }_{i=1}^n{A}^i=\frac{A^{n+1}-1}{A-1}$
如果 0< A < 1, ${\sum }_{i=1}^n{A}^i\le \frac{1}{1-A}$

4. 模运算

取余:取余运算在计算商值时向0方向舍弃小数位

取余，遵循尽可能让余数的绝对值小的原则
取余例子:
5 rem 3 = 2
-5 rem 3 = -2
5 rem -3 = 2
-5 rem -3 = -2

取模:取模运算在计算商值时向负无穷舍弃小数位

取模，遵循尽可能让商小的原则
取模例子:
5 mod 3 = 2
-5 mod 3 = 1
5 mod -3 = -1
-5 mod -3 = -2

5. 证明的方法

5.1) 归纳法证明

5.1.1) 基准情形

5.1.2) 归纳假设