非线性数学模型线性化

非线性模型的线性化

1 小偏差线性化方法

实际问题一定都是非线性的, 但是我们利用数学方法简化这种非线性模型为线性模型, 使得系统容易处理.

在它的平衡工作点附近, 它可以看成是线性的.

• uf 和 if 之间具有非线性关系.
• 在A点附近 uf 与 if , 近似满足线性关系
  
  ΔUf=tanα0ΔIf

在数学上, 线性化的过程就是用泰勒公式在某一点展开的过程. 这个展开点的选取非常重要, 通常选取在系统平衡工作点附近, 这样才满足小偏差线性化的定义.

1.1 平衡点附近泰勒级数展开:

1. 将一个非线性函数 y=f(x) , 在其工作点 (x0,y0) 展开成泰勒级数.
   
   y=y(x0)+y˙(x0)(x−x0)+y¨(x0)(x−x0)2+...
2. 忽略二次以上高阶项, 得到线性划方程, 用来代替原来的非线性函数.
   
   y≈y(x0)+y˙(x0)(x−x0)
   
   所以可以写成:
   
   y−y0=K(x−x0)
   
   其中: y0=y(x0) , K=y˙(x0) .
   

注意:

• 只有当 (x−x0) 非常小时, 即展开点在系统稳定工作点附近处, 忽略二阶以后高阶项才有意义.
• 选择展开点不一样, 线性化的结果也不一样.
• 这是线性化的小偏差思想.