高等数学：函数与极限

#函数
##数域
数域是对加减乘除闭合的数集合。

有理数集合Q是一个数域。

$Q=\{\frac{m}{n}|m,n\in Z,n>0,(m,n)=1\}$

##证明无理数
设p为正素数，求证：$\sqrt{p}为无理数$
$证明：下面用反证法证明。$
$假设\sqrt{p}为有理数，则存在正整数m,n，(m,n)=1且\sqrt{p}=\frac{m}{n}$
$对等式两边取平方得p{n}^2=m^2，故(m,p)=p$
$设m=kp，则p{k}^2=n^2，故(n,p)=p$
$得(m,n)=p,与(m,n)=1矛盾，故\sqrt{p}为无理数，证毕$

##实数域
实数集合R为有序数域，即任意两个数有大小关系。

实数域的完备性（连续性）：任意一个单调有界序列有极限存在。

##绝对值不等式
$|a|-|b|<|a\pm b|<|a|+|b|$

|x - a| < r 即 a - r < x < a + r

|x - a| > r 即 x > a + r 或 x < a - r

##证明无理数在数轴上处处稠密
证明：$设A_n=\{\frac{m}{10^n}|m\in Z\}使得\frac{1}{10^2}<(b-a)即1+10^{n}a<10^{n}b$
$则A\subseteq Q且a<\frac{[10^{n}a]+1}{10^n}<b，证毕$

##基本初等函数
常数函数：
$y=c(x\in R)$

幂函数：
$y=x^a(a̸=0)(x>0)$

指数函数：
$y=a^x(a>0且a̸=1)(x\in R)$

对数函数：
$y={\log }_{a}x(a>0且a̸=1)(x\in (0,+\infty ))$

三角函数：
$y=\sin xy=\cos xy=\tan x$
$y=\cot xy=\sec xy=\csc x$

反三角函数：
$y=\arcsin xy=\arccos xy=\arctan x$

初等函数是基本初等函数经过有限次四则运算与复合得到的函数。

##有界函数
$若\exists C，|f(x)| \leq C，\forall x\in X\ ，则f(x)为有界函数\ $
##特殊函数
狄利克雷函数
D(x) =
1，x为有理数
0，x为无理数

双曲函数
$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

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#极限
##定义极限

$对数列\{a_n\}，若\exists l_0，对\forall ϵ>0，\exists N使得|a_n-l_0|<ϵ，只要n>N$
$则\{a_n\}的极限存在，{\lim }_{n\to +\infty }{a}_n=l$

##夹逼定理
$设{a_n}{b_n}{c_n}，\exists N_0使得c_n\leq a_n\leq b_n，只要n\geq N_0\ $
$则当\lim_{n\rightarrow+\infty}c_n = \lim_{n\rightarrow+\infty}b_n = l时，a_n极限存在，\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n = l\ $

##重要极限
$\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e \approx 2.182818\ $

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