中国剩余定理（CRT 孙子定理）——Biorhythms（POJ 1006）

1. 定义：中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
2. 表述：
   设正整数两两互素，则同余方程组
   
   有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为
   
   其中，而为模的逆元。
3. 代码：

int CRT(int a[],int m[],int n)  
{  
    int M = 1;  
    int ans = 0;  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
        M *= m[i];  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
    {  
        int x, y;  
        int Mi = M / m[i];  
        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);  
        int x0 = x*(1/d)%m[i] + m[i];
        ans = (ans + Mi * x0 * a[i]) % M;  
    }  
    if(ans < 0) ans += M;  
    return ans;  
}  

• 练习：http://poj.org/problem?id=1006
  -AC代码：

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int a[4];
int m[4];

int Exgcd(int a, int b, int &x ,int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int ret = Exgcd(b, a%b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a/b*y;
    return ret;
}

int CRT (int a[], int m [], int n)
{
    int M = 1;
    int ans = 0;
    for(int i=1; i<=n;i++)
        M*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y;
        int Mi = M / m[i];
        int d = Exgcd(Mi, m[i], x, y);
        int x0 = x*( 1/d)%m[i]+m[i];
        ans = (ans + Mi * x0* a[i]) % M;
    }
    if(ans < 0) ans +=M;
    return ans;
}

int main()
{
    int p, e, i, d, t = 1;
    while(cin>>p>>e>>i>>d)
    {
        if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)
            break;
        a[1] = p;
        a[2] = e;
        a[3] = i;
        m[1] = 23;
        m[2] = 28;
        m[3] = 33;
        int ans = CRT(a, m, 3);
        if(ans <= d)
            ans += 21252;
        cout<<"Case "<": the next triple peak occurs in "<" days."<return 0;
}

1. 非互质情况下的中国剩余定理（合并求解多个模线性方程组）
   （以下叙述及证明大部分转自：http://972169909-qq-com.iteye.com/blog/1266328 作者 KIDx）

   给出同余方程组：
   
   其中，bi, ni的值已知，且n1,n2.n3, … , ni两两之间不一定互质，求Res的值。

   采用合并方程的做法：
   

   

合并方程求同余方程解的CRT模板：

LL CRT2 (LL b[], LL n[], int num) //b[]为余数数组， n[]为模数组 
{  
    int i;  
    bool flag = false;  
    LL n1 = n[0], n2, b1 = b[0], b2, bb, d, t, k, x, y;  
    for (i = 1; i < num; i++)  
    {  
        n2 = n[i], b2 = b[i];  
        bb = b2 - b1;  
        d = Egcd (n1, n2, x, y);  
        if (bb % d)     //模线性解k1时发现无解  
        {  
            flag = true;  
            break;  
        }  
        k = bb / d * x;    //相当于求上面所说的k1【模线性方程】  
        t = n2 / d;  
        if (t < 0) t = -t;  
        k = (k % t + t) % t;    //相当于求上面的K`  
        b1 = b1 + n1*k;  //b1相当于最小正整数解
        n1 = n1 / d * n2;  
    }  
    if (flag)  
        return 0;           //无解  
/******************求正整数解******************/  
    if (b1 == 0)    //如果解为0，而题目要正整数解，显然不行  
        b1 = n1;    //n1刚好为所有ni的最小公倍数，就是解了  
/******************求正整数解******************/  
    if (b1 > N)  
        return 0;  
    return (N-b1)/n1+1;    //形成的解：b1, b1+n1, b1+2n1,..., b1+xni...  
}  

• 练习：HDU 1573 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573

• AC 代码：

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long ll;

int a[11];
int b[11];
int T[11];
ll N;

ll Exgcd( ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x =1, y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        ll ret = Exgcd(b, a%b, x, y);
        ll tmp = x;
        x = y;
        y = tmp -a/b*y;
        return ret;
    }
}

ll CRT(int b [], int a[], int n)
{
    bool flag = false;
    ll b1 = b[1], a1 = a[1];
    ll x,y;
    for(int i=2; i<=n;i++)
    {
        ll b2 = b[i];
        ll a2 = a[i];
        ll bb = b2 - b1;
        ll d = Exgcd(a1, a2, x, y);
        if(bb%d)//模线性解K1 = (b2-b1)/n1 (mode n2/d)时无解
        {
            flag = true;
            break;
        }
        ll k = bb/d *x;//解上述模线性方程得到K的值
        ll t = a2/d;
        if(t<0) t = -t;
        k = ( k % t + t ) % t; // 求解上述 k`
        b1 = b1 + a1 *k;
        a1 = a1 /d * a2;
    }
    if( flag )    //无解情况
        return 0;
    if( b1 == 0)  //如果解为0，不符合正整数解，换成n1刚好是所有ni的最小公倍数
        b1 = a1;
    if(b1>N)      //求出所有小于N的正整数解
        return 0;
    return (N-b1)/a1+1;
}


int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        int m;
        scanf("%lld%d", &N, &m);

        for(int i=1;i<=m;i++)
            cin >> a[i];
        for(int i=1;i<=m;i++)
            cin >> b[i];

        ll ans = CRT(b, a, m);

        cout << ans << endl;
    }



    return 0;
}