8.8 证明EXACT 4SAT问题是NPC问题

题目描述

在EXACT 4SAT 问题中，指定输入为一组语句，每个语句恰好都是4个表达式的析取表示，并且每个变量最多在一个语句中出现一次。目标是找到一个合适的赋值，如果该赋值存在，那么可以证明EXACT 4SAT 问题是NPC问题。

证明

证明一个问题是NPC问题，只要能证明该问题能从另一个NPC问题归约得到，即得证。这道题我们可以考虑从3SAT问题归约到EXACT 4SAT 问题。
首先，我们看看如何如何从一个3SAT转换到EXACT 4SAT，我们先给出这么一个式子，

在EXACT 4SAT 问题的定义中指出，每个变量只允许出现一次，所以我们不能再每个语句中添加重复的变量，但我们可以添加哑变量，便能讲3SAT问题扩展成一个EXACT 4SAT 问题，如下图

可以明显的看出，我们在这个转换的过程中，时间复杂度是线性的时间，所以是满足归约的要求的。同时哑变量因为不影响整个语句的结果，所以两个式子是等价的。
综上所述，3SAT能归约到EXACT 4SAT问题，所以EXACT 4SAT问题是NPC问题。