逆元

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乘法逆元

定义

ax1modp ,则称 x a modp 意义下的逆元,记为 xa1modp

当然, a 也是 x modp 意义下的逆元

ab=ab1

几乎所有模意义下的除法都需要逆元

有逆元的充要条件

a modp 意义下有逆元的充要条件: (a,p)=1

逆元的求法
EXGCD

若求 a modp 意义下的逆元,则可以转化为求解如下方程

ax+py=1

有EXGCD的相关知识可以得到,当且仅当 (a,p)=1 时有解(有逆元的充要条件的证明)

费马小定理

如果 p 为质数,则 ap11modp

aap21

ap2a1

欧拉定理

将费马小定理中的 p2 换为 φ(p)1 即可

p 可以不是质数

递推

用于 O(n) 预处理 [1n] 的逆元

构造 p=ki+r

ki+r0modp

ki=r

i1=kr1

其中 k=pi,r=p%i

i1=piinv[p%i]

为了防止出现负数,通常的写法是这样的

inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;

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