逆元

%SDFZSPLI

乘法逆元

定义

若 ax≡1modp ,则称 x 是 a 在 modp 意义下的逆元，记为 x≡a−1modp

当然， a 也是 x 在 modp 意义下的逆元

ab=a⋅b−1

几乎所有模意义下的除法都需要逆元

有逆元的充要条件

a 在 modp 意义下有逆元的充要条件： (a,p)=1

逆元的求法

EXGCD

若求 a 在 modp 意义下的逆元，则可以转化为求解如下方程

ax+py=1

有EXGCD的相关知识可以得到，当且仅当 (a,p)=1 时有解（有逆元的充要条件的证明）

费马小定理

如果 p 为质数，则 ap−1≡1modp

∴a⋅ap−2≡1

∴ap−2≡a−1

欧拉定理

将费马小定理中的 p−2 换为 φ(p)−1 即可

p 可以不是质数

递推

用于 O(n) 预处理 [1⋯n] 的逆元

构造 p=ki+r

∴ki+r≡0modp

∴ki=−r

∴i−1=−k⋅r−1

其中 k=⌊pi⌋,r=p%i

∴i−1=−⌊pi⌋⋅inv[p%i]

为了防止出现负数，通常的写法是这样的

inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;