KM算法（二分图完备匹配下的最大权匹配）

阅读本文之前，首先假设您已经理解匈牙利算法，如果不理解友链在这

=>我是匈牙利算法<=

有时间会将匈牙利算法的博客补上的。

KM算法

KM算法求的是二分图完备匹配下的最大权匹配。

在二分图中，x点集中的所有点都有对应的匹配 且 y 点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。但是完备匹配可能不止一种，KM算法就是为了求出，其中边权和最大的一组。

KM算法的思路非常简单，核心可以看做这一句：

从最大权的匹配（不一定是完备匹配）开始，判断是否可以构成完备匹配。
如果可以则为答案，如果不可以则判断第二大、第三大、第四大......
直到找到答案或者没有更多匹配方案为止。

或许以上的说法还是有些迷糊的，那我们就看下面这一种更为清晰的说法。

首先找到从x中各个点出发的，各自的最大的一条边，构成匹配。
如果该匹配是完备匹配，则找到答案。
否则，加入所有未在该匹配中，最大的一条边，重新判断。

通过这样，我们可以保证，对于任意一个匹配，没有比当前匹配权值和更大的完备匹配。

算法的大致过程如下:

1.在原图中判断是否可以构成完备匹配，如果可以，步骤2。

2.向集合中加入从x中各个点出发的，各自的最大的一条边，构成匹配。

3.判断当且匹配是否为完备匹配，如果是，输出答案，否则，接步骤4

4.加入未在匹配中，且权值最大的一条边，重复3。

实现

显然，对于每条边进行标记是否在当且匹配中，是一个效率低下的方法。那么我们应该用什么样的方法来完成这一操作呢？

我们可以设置tagx[] tagy[] 这两个数组，对于x,y之间的边，一定满足

w[x][y]==tagx[x]+tagy[x];

也就是说，当且仅当以上条件成立时，我们才认为这是一条在匹配中的边。

初值：
假设从xi出发，距离最远的点为yi,那么tagx[xi]=w[xi][yi],tagy[yi]=0;

修改：
我们找到最小的 d = tagx[ i ]+tagy[ j ]-w[ i ][ j ] , 其中w[ i ][ j ]没有这条边没有被加入过，我们可以用两个marky[],markx[]数组判断这一点。

对于所有已经访问过的xi,yi，我们进行如下操作。

tagx[xi]-=d;
tagy[yi]+=d;

显然，对于已经在匹配中的一条边w[ xj ] [ yj ] 而言，由于d的增减可以通过tagx [ xj ] + tag[ yj ] 来抵消，所以并不影响。而对于新加入的这条边 w [ xj ][ yj ]来说， xj 被访问过，而yj 没有，所以tagx [ xj ] + tagy[ yj ] == w[ xj ][ yj ]

最后附上代码：

//KM.cpp
//
//Glasses
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define LL int
#define MAXN 300 +10
#define MOD 1000000007
#define INF 0x7f7f7f7f
#define inf 0x7f7f7f7f
#define FOR(i,a,b) for(LL i = (a), i##end = (b); i <= i##end; ++i)
#define ROF(i,a,b) for(LL i = (a), i##begin = (b); i >= i##begin; --i)
#define output(a) printf("%d\n",(a));
#define input(a) scanf("%d",&(a));
LL read()
{  
    LL x=0;char ch=getchar();  
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();  
    while(ch>='0' && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();  
    return x;
}

struct KM
{
    bool markx[MAXN],marky[MAXN];
    LL tagx[MAXN],tagy[MAXN],match[MAXN],w[MAXN][MAXN];
    LL n,m;

    void init(LL inn,LL inm)
    {
        this->n=inn;this->m=inm;
        FOR(i,0,MAXN-1)FOR(j,0,MAXN-1)w[i][j]=0;
    }

    void add_edge(LL x,LL y,LL z)
    {
        w[x][y]=max(w[x][y],z);
    }

    bool dfs(LL x)
    {
        markx[x]=1;
        FOR(y,1,m)
            if(!marky[y]&&tagx[x]+tagy[y]==w[x][y])
            {
                marky[y]=1;
                if(!match[y]||dfs(match[y]))
                {
                    match[y]=x;
                    return 1;
                }
            }
        return 0;
    }

    LL solve()
    {
        memset(tagy,0,sizeof(tagy));
        FOR(i,1,n)
        {
            tagx[i]=-INF;
            FOR(j,1,m)tagx[i]=max(tagx[i],w[i][j]);
        }

        memset(match,0,sizeof(match));
        FOR(k,1,n)
        {
            while(1)
            {
                memset(markx,0,sizeof(markx));
                memset(marky,0,sizeof(marky));
                if(dfs(k))break;
                LL d=INF;
                FOR(i,1,n)if(markx[i])
                    FOR(j,1,m)if(!marky[j])
                    d=min(d,tagx[i]+tagy[j]-w[i][j]);
                if(d==INF)return -1;
                FOR(i,1,n)if(markx[i])tagx[i]-=d;
                FOR(i,1,m)if(marky[i])tagy[i]+=d;
            }
        }
        LL sum=0;
        FOR(i,1,m)if(match[i])sum+=w[match[i]][i];
        return sum;
    }
}e;

错误是我的，请让我吃掉:(