网络流入门教程之最大流(DINIC/EK)
网络流入门教程之最大流
一.引入
生活中有很多东西很像网络流。
我们想象一下自来水厂(假设自来水厂水量无限)到你家的水管网是一个复杂的有向图，每一节水管都有一个最大承载流量。自来水厂不放水，你家就断水了。但是就算自来水厂拼命的往管网里面注水，你家收到的水流量也是上限（毕竟每根水管承载量有限）。你想知道你能够拿到多少水，这就是一种网络流问题。
同样的假设s城有无限个人想去t城，但是从s到t要经过一些城市才能到达，其中s到x城的火车票还剩20张，x到t的火车票还剩10张，其他路以此类推，问最终最多能有多少人能到达t城？
先从最基础的最大流开始：
最大流问题是想让我们解决什么问题？
形象的说就是有一段水流从源点s经过很多路径，路径有一个流量上限lim，即最多只有lim那么多的水能够通过这条路径。询问最终能有多少水到达汇点t。
结合图片进行解说：
下面是一个有向图，s和t已经在图中标出
途中路径的流量已经标出，易知改图的最大流=10+22+45=77。
那么这个问题该真么解决呢？
我们发现，制约我们最大流大小的就是那些流量非常的少的水管（就这么说吧 ）。
于是我们可以找到哪些流量非常少的水管，再进行操作。
我们先从比较简单的EK说起
二.EK算法
EK算法全称Edmond—Karp（不要问我为什么那么高级 ）
首先说一些定义:
- 源点：只有流出去的点
- 汇点：只有流进来的点
- 流量：一条边上流过的流量
- 容量：一条边上可供流过的最大流量
增广路 : 从s到t的一条路，流过这条路，使得当前的流可以增加。其实就是最大流还有可以上升的空间。
通过增广路的定义，我们发现最大流问题可以转换成为求解增广路问题，如果图中没有了增广路必然没有最大流。
操作过程如下:
从s开始广搜，走权值大于0的边，知道走到t。在此同时我们要记录每个节点是从哪里走来的。之后我们找到最小的边权x，使得每一条边的权值-x。当我们找不到增广路时退出。
在累加最大流的时候，为了防止重复加某一段，我们要对每一条边减掉最大流。
给一下增广路的代码：
struct node {
int x, id ;//前面的点，边的编号
} pre[N] ;
bool bfs() { //找增广路
queue <int> q ;
memset(inque, 0, sizeof(inque)) ;
memset(pre, -1, sizeof(pre)) ;
inque[s] = 1;
q.push(s) ;
while (!q.empty()) {
int now = q.front() ;
q.pop() ;
for (int i = head[now]; i; i = e[i].nxt) {
int to = e[i].to ;
if (!inque[to] && e[i].w) { //流过去
pre[to] = (node) {now, i} ; //从哪个点流过来
if (to == t) return 1 ;//找到
inque[to] = 1 ;
q.push(to) ;
}
}
}
return 0 ;//没找到
}
累加最大流：
int EK(){
int ans = 0 ;
while (bfs()) {
int MI = iinf ;
for (int i = t; i != s; i = pre[i].x) MI = min(MI, e[pre[i].id].w) ;
for (int i = t; i != s; i = pre[i].x) e[pre[i].id].w -= MI ;
ans += MI ;
}
return ans ;
}
WA了。（一脸懵逼的看着 ）
万一第一次流错了使得这样的流法无法得到最大流怎么办？
哦对啊。
依然是这张图
如果你第一次的增广路是：s->3->5->t最大流显然是10，第二次的增广路是s->4->5->t最大流显然是35（因为5->t的最大流有10点被3号点来的人占领了)。
而这种方案显然不如：s->4->5->t最大流为45，s->3->t最大流为10。
那么怎么最优？ 建反向边。
为什么要建反向边？占空间？占时间？ 当然不是哈哈哈 。
先找增广路，比如说我们走了s->3->5->t，那么图会变成：
再找一次增广路，这次比如说我们走s->4->5->t。
再找一次增广路，这次我们找s->4->5->3->t
为什么这次搜索的时候走了反向边（红色）的边，为什么走了反向边（红色）的边会加正向边（黑色）的边？
这就好像是45个人沿着s->4->5->t的路线想去t城，到了5城却发现有10个来自3城的人先定了5->t的票！他们十分焦急，总不能让他们在5城等吧。
怎么办呢？他们通过反向边上的标记发现了那10个人是来自3城的，利用标记，他们发现那10个人可以直接从3城到t城，于是他们告诉还在3城时的那10个人可以直接走3->t这条路，然后他们就可以买到空出来的5->t的10张票了。
于是你知道了：反向边的作用就是反悔，能够让前面的人走回头路。
理解了反向边的作用，恭喜你已经理解了EK求解最大流算法的原理了。
大家有学过桥（双连通分量）么？
里面判断两条边互为反向边的操作是什么？
x -> x ^ 1
于是这个也可以这么判断
还有一件事情，建边时要从2开始建，否则会wa的
给一下EK的代码：
【模板】网络最大流
#include
#include 但是，某位洛谷大佬曾说：根据相关法律法规，网络流题不允许卡Dinic/ISAP，但可以卡EK，数据应严格遵循上述条约。
EK算法常被称为网络流的朴素算法，因为他在一些毒瘤 数据下的运行时间并不理想，比如：
我们一眼可以看出最大流是999(s->v->t)+999(s->u->t)，但如果程序采取了不恰当的增广策略：s->v->u->t
我们发现中间会加一条u->v的边
而下一次增广时：
若选择了s->u->v->t
然后就变成
这是个非常低效的过程，并且当图中的999变成更大的数时，这个劣势还会更加明显。
怎么办呢？
这时我们引入Dinic算法
三. DINIC算法
为了解决我们上面遇到的低效方法，Dinic算法引入了一个叫做分层图的概念。
具体就是对于每一个点，我们根据从源点开始的bfs序列，为每一个点分配一个深度，然后我们进行若干遍dfs寻找增广路，每一次由u推出v必须保证v的深度必须是u的深度+1。
bfs分层图过程
bool bfs() { //分层图
queue <int> q ;
q.push(s) ;
clr(dep) ;
dep[s] = 1 ;
while (!q.empty()) {
int now = q.front() ;
q.pop() ;
for (int i = head[now]; i; i = e[i].nxt) {
int to = e[i].to ;
if (e[i].w && !dep[to]) {
dep[to] = dep[now] + 1 ;//更新深度
q.push(to) ;
}
}
}
if (!dep[t]) return 0 ;//没有从s到t的增广路
else return 1 ;
}
dfs寻找增广路过程
int dfs(int rt, int dis) {
if (rt == t) return dis ;
for (int i = head[rt]; i; i = e[i].nxt) {
int to = e[i].to ;
if (dep[to] == dep[rt] + 1 && e[i].w) { // 是在下一层
int p = dfs(to, min(dis, e[i].w)) ;
if (p) { //可流
e[i].w -= p ;//更新
e[i ^ 1].w += p ;
return p ;
}
}
}
return 0 ;//没找到增广路
}
主函数
int Dinic() {
int ans = 0 ;
while (bfs()) { //有增广路
while (int d = dfs(s, iinf)) ans += d ;//找
}
return ans ;
}
最后发一下全部代码，同样还是那道叫做网络最大流的题目
#include
#include 作业：
- 草地排水
- 飞行员配对方案问题 （二分图匹配）
- 魔术球问题
thanks for your reading!