最短路算法

参考https://www.cnblogs.com/five20/p/7782931.html

一、Dijkstar（迪杰斯特拉）算法：

简介：此算法按路径长度（next点）递增顺序产生最短路。

步骤：

1.先将点集V分成两组：

·S：已求出最短路径的集合

·T：V-S（尚未确定最短路径的集合）

2.初始化

使S = {V0}，T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值，若存在，则为弧上的权值，如不存在则为inf（无穷）。

3.从T中选区一个距离最小值W（贪心），加入S，对T中顶点的距离值进行修改，若W作为中间点反而比V0到Vi的距离长则修改此距离。

4.重复上述步骤，直到S中包含所有点为止。

PS：Dijkstar无法处理负权边。

二、Floyd算法

思想：从A节点到B节点只有两种方式：1.直接从A到B。2.间接（中间经历若干节点）到B。

如果distance（AK）+distance（KB）

代码如下：

for(int k = 0;k

{

    for(int i =0;j

    {

        for(int j = 0;j

        {

            if(!(dist[i][k] == inf || dist[k][j] ==inf)&&(dist[i][k]+dist[k][j]

            {

                   dist[i][j] =dist[i][k] + dist[k][j];

            }

        }

    }

}

三、Bellman-Ford（贝尔曼-福特）算法

简介：不停地进行松弛直到n-1次，如果n-1此还能松弛则说明有负环，此算法无法解出。

可以求边上带有负值，但不能求负环，且效率很低不想考虑，直接学习用队列优化的BF算法：SPFA

PS：Dijkstar算法与Bellman-Ford的不同：

Dijkstar：起点到S集合内的最短路径求出后不再改变，只有T集合里面的长度改变（贪心算法）。

Bellman-Ford：每次循环都要改dist[]直到算法结束。

算法使用条件:

1.单元最短路径

2.有向图和无向图（无向图可以看作为（u，v），（v,u）同属于边集E的有向图）

3.边权可正可负(如有负权回路输出错误信息)。

4.差分约束系统。

四、SPFA算法（缺点：复杂度高，不过可以优化）

用队列优化BF算法。

步骤：

1.先将每个节点存成估计值（起点为零，其余为inf）存储在数组dis中，用邻接表存储图，采用动态逼近法：建立一个队列存储待优化的节点，每次优化化时从队首取出节点u，用当前u点的最短路径的估计值对离开u点所指的v点进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值变短了，且不在队列中，将其加入队尾，这样不断取出节点进行松弛操作，直至队列为空。

2.在执行第一步之前需要先判断是否有负环：

a.采用拓扑排序，时间很长，一般不用。

b.如果某个节点进入队列次数超过n则存在负环（n为顶点数）。

 

首先建立起始点a到其余各点的
最短路径表格

首先源点a入队，当队列非空时：
１、队首元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时路径表格状态为：

首先源点a入队，当队列非空时：
１、队首元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时路径表格状态为：

在松弛时三个点的最短路径估值变小了，而这些点队列中都没有出现，这些点
需要入队，此时，队列中新入队了三个结点b,c,d队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，e的最短路径估值也变小了，e在队列中不存在，因此e也要
入队，此时队列中的元素为c，d，e队首元素c点出队，对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有e,f两个点），此时路径表格状态为：

 

在最短路径表中，e，f的最短路径估值变小了，e在队列中存在，f不存在。因此e不用入队了，f要入队，此时队列中的元素为d，e，f

队首元素d点出队，对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，g的最短路径估值没有变小（松弛不成功），没有新结点入队，队列中元素为f，g

队首元素f点出队，对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有d，e，g三个点），此时路径表格状态为：

 

在最短路径表中，e，g的最短路径估值又变小，队列中无e点，e入队，队列中存在g这个点，g不用入e，此时队列中元素为g，e队首元素g点出队，对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有b点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，b的最短路径估值又变小，队列中无b点，b入队，此时队列中元素为e，b
队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，g的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列中元素为b

队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e这个点），此时路径表格状态为：

 

在最短路径表中，e的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列为空了

最终a到g的最短路径为１４

图解转自https://www.cnblogs.com/bofengyu/p/5004398.html