【HDU】2866 Special Prime

约定：

 ：a 和 b 互质

  ：a 和 b 不互质

 ：质数

 

题解：

思路新颖，然鹅我推完第一步就无从下手了

式子是这样的

先不管求出p的个数，我们先把这个式子化简一下

现在难点就是这个完全没有任何推法啊

 

挖掘性质：

 

1、  （不想看证明可以跳过）

（博主自己想的思路）

假设 ，一定有 ，所以原式可化为 

又因为 ，所以设 ，可以得到

所以我们要证明上述式子不成立

证明 1.1

再次化简式子得到 ，这有什么呢，再化简一下可以得到 

这样的话可以得到 ，那么  会出现什么样的妙处呢？

显然这时候 一定是大于等于 4 的正整数，那么设它为 ，那么 

那么 与  是正整数矛盾！

所以  一定成立

证毕

 

2、  

由于  ，更相减损法可以证明这是对的，即 

 

3、 都是完全立方数

证明 3.1

假设 ，那么，总之，他们互质

那么  既然是一个完全立方数，那么可以将其质因子分解，发现一个道理：

也就是说，不论如何，所有的  一定要是 3 的倍数，所以，而  各项里面只有 1，2 的因子

所以  都是完全立方数一定成立

 

破题：

 

这个过程也是很精妙

由性质 3，可以设

两者做差可得到

（实在是太难写了我就直接  了哈）

 为质数

 成立

代入 

 

那么  就是形如  的所有数

这样的  不会超过 600，可以直接暴力枚举 

存入一个数组，每次二分查找小于等于输入的数的位置（），这个题就完了！

 

后记：

 

吐槽一下为什么要做这道题呢，因为教练在 Vjudge 上挂了这道题，然后不做就吃枣药丸，所以就做了这道没有意义的题，虽然锻炼了数论的思维，但是 Noip 时期应该巩固基础，所以说，希望这是我最后一篇这样的题解和总结……