BZOJ3512：DZY Loves Math IV （杜教筛）
题目传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3512
题目分析：很早就听说这是道神仙题，所以一直没有做。后来洛谷的某场比赛，T1和这题很像，然而我推了1h也化不开 ϕ(ij) ϕ ( i j ) （也许我智商太低），最后在该题取得了0分的好成绩QAQ。于是我决定过来学一学关于 ϕ ϕ 的一些新姿势。
首先有以下四条式子成立：
令 d=gcd(i,j) d = g c d ( i , j ) ：
若x无平方因子，d为x的约数，e为d的约数，则有：
第一条式子其实就是 n=∑d|nϕ(d) n = ∑ d | n ϕ ( d ) 的变形。第二条式子中由于 id i d 与 j j 互质，所以 ϕ(id)ϕ(j)=ϕ(ijd) ϕ ( i d ) ϕ ( j ) = ϕ ( i j d ) ，又因为d是 ijd i j d 的因数，所以等式成立。第三条式子要从 ϕ ϕ 的计算方法考虑： ϕ(n)=∏ipki−1i(pi−1) ϕ ( n ) = ∏ i p i k i − 1 ( p i − 1 ) ，意味着某个质因数 pi p i 在n中第一次出现，贡献是 pi−1 p i − 1 ，再出现时贡献是 pi p i 。而i和j共有的质因子，在计算 ϕ(i)ϕ(j) ϕ ( i ) ϕ ( j ) 时乘了两次 pi−1 p i − 1 ，所以要除回 ϕ(d) ϕ ( d ) ，再乘以d。第四条式子显然正确。
然而知道了上面4条式子，我们远远还不足以做出这题。由于这题解法十分脑洞，我直接开始推倒吧：
设 S(n,m)=∑mi=1ϕ(in) S ( n , m ) = ∑ i = 1 m ϕ ( i n ) ，则 ans=∑ni=1S(i,m) a n s = ∑ i = 1 n S ( i , m ) 。由于n比较小，可以直接枚举。考虑怎么计算 S(n,m) S ( n , m ) 。设 n=xy n = x y ，其中x是n的最大无平方因子约数，这个可以通过线性筛直接预处理。通过 ϕ ϕ 的计算方式可知 ϕ(n)=ϕ(x)y ϕ ( n ) = ϕ ( x ) y ，所以我们把y提出来：
用第二条式子代换可得：
其中 d=gcd(x,i) d = g c d ( x , i ) 。然后用第一条式子将后面的d换掉：
将e的枚举条件写成 e|x,e|i e | x , e | i 是因为 d=gcd(x,i) d = g c d ( x , i ) ，合并了d之后方便些。
然后用第四条式子将后面的两个 ϕ ϕ 合并，并交换i和e的枚举顺序，可得：
所以：
现在这变成了递归的形式，当n=1时便无法再递归，此时要用杜教筛求出 ϕ ϕ 的前缀和。由于 ⌊⌊mx⌋y⌋=⌊mxy⌋ ⌊ ⌊ m x ⌋ y ⌋ = ⌊ m x y ⌋ ，于是递归时第二维的值始终是 ⌊mk⌋ ⌊ m k ⌋ 的形式，它只有 2m−−√ 2 m 个取值。而且这些值和杜教筛递归时求的值是一样的，所以这个式子复杂度的上界为 O(nm−−√+n23) O ( n m + n 2 3 ) ，对S(n,m)引入记忆化可以在4s内跑过极限数据。从这里也可以看出，杜教筛时记忆化的个数远远小于 2m−−√ 2 m 。
这题的关键在于将y提出来，因为S(n,m)中n已经是一个定值。如果不提出y，便无法合并两个 ϕ ϕ ，就很难计算前缀和。另外，递归时如果用map进行记忆化，不要用下标符号，因为它会返回0，而原先的答案模 109+7 10 9 + 7 可能就是0，会增加时间，所以要调用count函数。
CODE：
#includelong long> a;
map <int,long long> b;
int n,m;
void Linear_shaker()
{
phi[1]=1;
low[1]=1;
for (int i=2; iif (!vis[i]) phi[i]=i-1,low[i]=i,prime[++cur]=i;
for (int j=1; j<=cur && i*prime[j]int k=i*prime[j];
vis[k]=true;
if (i%prime[j])
{
phi[k]=phi[i]*(prime[j]-1);
low[k]=low[i]*prime[j];
}
else
{
phi[k]=phi[i]*prime[j];
low[k]=low[i];
break;
}
}
}
for (int i=1; i1]+phi[i])%Mod;
}
LL Sum(LL M)
{
return M*(M+1LL)/2LL%Mod;
}
LL Dfs(int M)
{
if (Mreturn sum[M];
if (b.count(M)) return b[M];
LL temp=Sum(M),last;
for (LL i=2; i<=M; i=last+1)
{
last=M/(M/i);
temp=(temp- (last-i+1)*Dfs(M/i)%Mod +Mod)%Mod;
}
b.insert( MP(M,temp) );
return temp;
}
LL Calc(int N,int M)
{
if ( !N || !M ) return 0;
if (N==1) return Dfs(M);
if (M==1) return phi[N];
if ( a.count( MP(N,M) ) ) return a[ MP(N,M) ];
LL x=low[N],y=N/x,ue=(long long)floor( sqrt( (double)x )+0.1 ),temp=0;
for (LL e=1; e<=ue; e++) if (x%e==0)
{
temp=(temp+ phi[x/e]*Calc(e,M/e)%Mod )%Mod;
if (e!=x/e)
{
e=x/e;
temp=(temp+ phi[x/e]*Calc(e,M/e)%Mod )%Mod;
e=x/e;
}
}
temp=temp*y%Mod;
a.insert( MP( MP(N,M) ,temp) );
return temp;
}
int main()
{
freopen("3512.in","r",stdin);
freopen("3512.out","w",stdout);
Linear_shaker();
scanf("%d%d",&n,&m);
if (n>m) swap(n,m);
LL ans=0;
for (int i=n; i>=1; i--) ans=(ans+ Calc(i,m) )%Mod;
printf("%I64d\n",ans);
return 0;
}