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Wallis公式及其应用

今天我要讲的主要内容是什么是Wallis公式，以及它的推导过程。然后讲述Wallis公式的两个重要应用，即推导

Stirling公式和求解Euler-Poisson积分。一次在一个机器学习群里面看到讨论这个公式，借此机会总结一下。

 

Contens

 

    1. 什么是Wallis公式

    2. Wallis公式的推导过程

    3. 利用Wallis公式推导Stirling公式

    4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson积分

 

 

1. 什么是Wallis公式

 

   Wallis公式是关于圆周率的无穷乘积的公式，公式内容如下

 

  

 

   其中，开方后还可以写成

 

   

 

 

2. Wallis公式的推导过程

 

   Wallis公式的推导采用对在区间内的积分完成，令

 

  

 

   用部分积分法得到如下推导过程

  

   Wallis公式及其应用_第1张图片

 

   进一步得到

 

   Wallis公式及其应用_第2张图片

 

   所以继续得到

 

   Wallis公式及其应用_第3张图片

 

   所以最终得到

 

   Wallis公式及其应用_第4张图片

 

   由的单调性可知

 

   Wallis公式及其应用_第5张图片

 

   即得到

 

  

 

   由两边夹挤准则得到

 

   

 

   这样就推导出了Wallis公式。

 

 

3. 利用Wallis公式推导Stirling公式

 

   斯特林公式如下

 

  

 

   接下来利用Wallis公式来推导斯特林公式。

 

   借助函数的图像面积，通常有三种求法，分别是积分法，内接梯形分割法，外切梯形分割法。实

   际上最准确的是第一种，后面两种都有一定误差。

 

   对于积分法求面积有

 

  

 

   对于内接梯形分割法有

 

   Wallis公式及其应用_第6张图片

 

   很容易知道，令，很容易证明为有界递增序列，则

 

   Wallis公式及其应用_第7张图片

 

   接下来令，则有极限，设

 

   

 

   则根据Wallis公式得到

 

  

 

   进一步化简得到

 

   

 

   所以最终得到

 

  

 

   带入原式得到斯特林公式

 

   

 

 

4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson积分

 

   在上面，我通过Wallis公式完美地推导了斯特林公式，接下来继续看Wallis公式的另一个应用，即求解

   Euler-Poisson积分。

 

   Euler-Poisson积分是无限区间上的非正常积分

 

  

 

   它在概率论等数学分支以及其它自然科学中都有重要应用，由于它的被积函数的原函数不能用初等函数表示，

   因此不能用牛顿-莱布尼兹公式求它的值。现在我就用上面学到的Wallis公式来求解。

 

   借助函数在时取得最大值1，因此对于任何，都有，从

   而得到和，所以

 

   

 

   对任意自然数都有

 

  

 

   由于

 

  

 

   那么，我们又知道

 

   Wallis公式及其应用_第8张图片

 

   即得到不等式为

 

  

 

   同时取平方后得到

 

  

 

   由Wallis公式可以推出，在的情况下，两边都是以为极限，由两边夹挤准则得到

 

  

 

 

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