5814. 【NOIP提高A组模拟2018.8.14】 树（期望 + 倍增）

5814. 【NOIP提高A组模拟2018.8.14】 树

Problem

• 给定一棵 n n 个点的树， m m 次询问，每次询问一个点 u u 走到一个点 v v 经过的期望边数.

• N≤100000,Q≤100000 N ≤ 100000 , Q ≤ 100000

Solution

• 根据期望的线性性，即

  E(X+Y)=E(X)+E(Y) E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y )

• 可得，两个点之间的期望距离，实际上等于从 u→lca,lca→v u → l c a , l c a → v 的期望步数.

• 令 f[i] f [ i ] 表示 i→fa[i] i → f a [ i ] 的期望距离， g[i] g [ i ] 表示 fa[i]→i f a [ i ] → i 的期望距离.

• 因为这是一个无穷级数，所以我们可以列一个方程，然后就可以得到答案了.

• 因为这道题比较基础，所以我们考虑一下拓展。

• 比如说这道题：3143: [Hnoi2013]游走

• 同样需要用到期望的线性性，最终答案即为每条边被经过的次数乘上其长度.

• 也就是说如果算出了一条边被经过的次数，最后贪心一下即可.

• 那么很容易发现，实际上可以把一条无向边拆为两条有向边，用高斯消元求解即可.